Свойство внутренних углов треугольника

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойство внутренних углов треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойство внутренних углов треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Свойство внутренних углов треугольника,

ФигураРисунокФормулировка
ТреугольникСвойство внутренних углов треугольника
Большая сторона треугольникаСвойство внутренних углов треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольникаСвойство внутренних углов треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольникаСвойство внутренних углов треугольника
Углы треугольникаСвойство внутренних углов треугольника
Внешний угол треугольникаСвойство внутренних углов треугольника
Больший угол треугольникаСвойство внутренних углов треугольника
Меньший угол треугольникаСвойство внутренних углов треугольника
Теорема косинусовСвойство внутренних углов треугольника
Теорема синусовСвойство внутренних углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойство внутренних углов треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойство внутренних углов треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Свойство внутренних углов треугольника,

Треугольник
Свойство внутренних углов треугольника
Большая сторона треугольника
Свойство внутренних углов треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
Свойство внутренних углов треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
Свойство внутренних углов треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
Свойство внутренних углов треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Свойство внутренних углов треугольника
Углы треугольника
Свойство внутренних углов треугольника
Внешний угол треугольника
Свойство внутренних углов треугольника
Больший угол треугольника
Свойство внутренних углов треугольника
Меньший угол треугольника
Свойство внутренних углов треугольника
Теорема косинусов
Свойство внутренних углов треугольника
Теорема синусов
Свойство внутренних углов треугольника
Треугольник
Свойство внутренних углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Свойство внутренних углов треугольника

Свойство внутренних углов треугольника

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Свойство внутренних углов треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольникаСвойство внутренних углов треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Свойство внутренних углов треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусовСвойство внутренних углов треугольника

Теорема синусовСвойство внутренних углов треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Свойство внутренних углов треугольника,

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Свойство внутренних углов треугольника

Свойство внутренних углов треугольника

Свойства углов
1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника — угол, смежный с углом треугольника.
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
4. Внешний угол треугольника больше угла треугольника, не смежного с ним.
5. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла — большая сторона.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: AB = BC, CD AB, ∠ABC = 32. Найти: ∠ACD

Свойство внутренних углов треугольника

Задача № 2. Дано: ABC, AB = BC, ∠DBC — внешний угол ABC, ∠DBC = 52. Найти: ∠BAC, ∠BCA.

Свойство внутренних углов треугольника

Задача № 3. Дано: ABC, AB = BC, ∠C = 64, AD — биссектриса ∠A. Найти: ∠ADB.

Свойство внутренних углов треугольника

Задача № 4. Дано: AD = DB, BK = KC, ∠BAD = 38, ∠BCK = 26. Найти: ∠BDK, ∠BKD, ∠DBK.

Свойство внутренних углов треугольника

Это конспект по теме «Свойства сторон и углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Свойство внутренних углов треугольника

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойство внутренних углов треугольника

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: Свойство внутренних углов треугольника

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

Свойство внутренних углов треугольника

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

Свойство внутренних углов треугольника

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

Свойство внутренних углов треугольника

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Свойство внутренних углов треугольника

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Свойство внутренних углов треугольника

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Свойство внутренних углов треугольника

Свойство внутренних углов треугольника

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойство внутренних углов треугольника

Свойство внутренних углов треугольника

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: Свойство внутренних углов треугольника

Свойство внутренних углов треугольника

Теорема синусов: Свойство внутренних углов треугольника

Свойство внутренних углов треугольника

Площадь треугольника

Свойство внутренних углов треугольникаЧерез сторону и высоту

Свойство внутренних углов треугольника

Через две стороны и угол между ними

Свойство внутренних углов треугольника

Через радиус описанной окружности

Свойство внутренних углов треугольника

Через радиус вписанной окружности

Свойство внутренних углов треугольника, где Свойство внутренних углов треугольника– полупериметр

Свойство внутренних углов треугольника, где Свойство внутренних углов треугольника– полупериметр

Свойство внутренних углов треугольника

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства: Свойство внутренних углов треугольника

Да, не хватало значка «Свойство внутренних углов треугольника» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении Свойство внутренних углов треугольника, то выходим на уравнение Свойство внутренних углов треугольникаОткуда Свойство внутренних углов треугольникаЗначит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть Свойство внутренних углов треугольника
Применяем теорему синусов: Свойство внутренних углов треугольника, откуда Свойство внутренних углов треугольника

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно, Свойство внутренних углов треугольника
Примите Свойство внутренних углов треугольниказа Свойство внутренних углов треугольника.
Примените к треугольнику Свойство внутренних углов треугольникатеорему косинусов:
Свойство внутренних углов треугольника
Найдете Свойство внутренних углов треугольника, далее можно найти угол Свойство внутренних углов треугольникаи из треугольника Свойство внутренних углов треугольниканайти Свойство внутренних углов треугольника

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

📸 Видео

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольника

Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Теорема о сумме внутренних углов треугольникаСкачать

Теорема о сумме внутренних углов треугольника

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.Скачать

теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Сумма внутренних углов треугольникаСкачать

Сумма внутренних углов треугольника

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия. 7 класс. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника /28.01.2021/Скачать

Геометрия. 7 класс. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника /28.01.2021/

Сумма углов треугольника равна 180Скачать

Сумма углов треугольника равна 180

Сумма внутренних угловСкачать

Сумма внутренних углов

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: