Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Треугольник | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Большая сторона треугольника | Против большей стороны треугольника лежит больший угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Больший угол треугольника | Против большего угла треугольника лежит большая сторона | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меньшая сторона треугольника | Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меньший угол треугольника | Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Длины сторон треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Углы треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внешний угол треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Больший угол треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меньший угол треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема косинусов | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема синусов |
Треугольник | ||
Большая сторона треугольника | ||
Против большей стороны треугольника лежит больший угол | ||
Больший угол треугольника | ||
Против большего угла треугольника лежит большая сторона | ||
Меньшая сторона треугольника | ||
Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол | ||
Меньший угол треугольника | ||
Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | ||
Длины сторон треугольника | ||
Углы треугольника | ||
Внешний угол треугольника | ||
Больший угол треугольника | ||
Меньший угол треугольника | ||
Теорема косинусов | ||
Теорема синусов | ||
Треугольник |
Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.
Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .
Свойство большей стороны треугольника:
Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Свойство большего угла треугольника:
Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Свойство меньшей стороны треугольника:
Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Свойство меньшего угла треугольника:
Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.
Свойство углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180°
Свойство внешнего угла треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Свойство большего угла треугольника:
Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.
,
где α – больший угол треугольника.
Свойство меньшего угла треугольника:
Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.
,
где β – меньший угол треугольника.
Свойство меньшего угла треугольника:
,
- Свойство внутренних углов треугольника
- ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
- Треугольник
- Треугольник произвольный
- Свойства
- Признаки равенства треугольников
- Биссектриса, высота, медиана
- Средняя линия треугольника
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Соотношение сторон в произвольном треугольнике
- Площадь треугольника
- 📸 Видео
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать
Свойство внутренних углов треугольника
Свойства углов
1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника — угол, смежный с углом треугольника.
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
4. Внешний угол треугольника больше угла треугольника, не смежного с ним.
5. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла — большая сторона.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: AB = BC, CD AB, ∠ABC = 32. Найти: ∠ACD
Задача № 2. Дано: ABC, AB = BC, ∠DBC — внешний угол ABC, ∠DBC = 52. Найти: ∠BAC, ∠BCA.
Задача № 3. Дано: ABC, AB = BC, ∠C = 64, AD — биссектриса ∠A. Найти: ∠ADB.
Задача № 4. Дано: AD = DB, BK = KC, ∠BAD = 38, ∠BCK = 26. Найти: ∠BDK, ∠BKD, ∠DBK.
Это конспект по теме «Свойства сторон и углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:
Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать
Треугольник
Треугольник произвольный
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).
Виды треугольников :+ показать
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.
Свойства
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:
(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Признаки равенства треугольников
1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.
2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.
3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.
Биссектриса, высота, медиана
Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Вписанная окружность
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.
Описанная окружность
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Соотношение сторон в произвольном треугольнике
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Площадь треугольника
Через сторону и высоту
Через две стороны и угол между ними
Через радиус описанной окружности
Через радиус вписанной окружности
, где – полупериметр
, где – полупериметр
Смотрите также площадь треугольника здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉
Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!
В разделе свойства:
Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉
Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.
Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда
спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!
Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3
Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:
Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти
Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно
📸 Видео
7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать
Сумма углов треугольникаСкачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать
Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать
Внешний угол треугольникаСкачать
Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
Теорема о сумме внутренних углов треугольникаСкачать
Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать
теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.Скачать
Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать
Сумма внутренних углов треугольникаСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Геометрия. 7 класс. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника /28.01.2021/Скачать
Сумма углов треугольника равна 180Скачать
Сумма внутренних угловСкачать
Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать
Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать