Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Интернет-олимпиада компании IBM

• IV Интернет-олимпиада по математике/XIV тур Математического Марафона (12)→
• XV тур математического марафона (12)→
• Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике (9)→
• Третья Интернет-олимпиада по математике/XIII тур Математического Марафона (12)→
• Задачи конкурса Ponder This компании IBM: 7↓
  • Задача о плитках домино
  • Решение числового ребуса
  • Ферзи на шахматной доске
  • Задача о четырёх точках
  • Лягушка на числовой прямой
  • Разрезание квадратной доски
  • Как выиграть в лотерею
• Задачи областной олимпиады по математике 2010 (5)→
• Первая открытая Интернет-олимпиада по математике (9)→
• Задачи областной олимпиады по математике 2009 (5)→
• Как доказывать олимпиадные неравенства
• Задачи международного турнира
• XXI тур Математического Марафона
• Отбор на XVI Всеукраинский турнир — Часть 2
• Отбор на XVI Всеукраинский турнир — Часть 1
• Далеко, далеко, на лугу пасутся ко.
• Людоед и гномики
• Поиск фальшивой монеты
• Два парома
• Как вычислять бесконечные суммы: часть 1
• Вариации на тему игры Баше
• Мотоциклист, велосипедист и пешеход
• Утроение числа после перестановки цифр
• Как вычислять бесконечные суммы: часть 2
• Задача о поиске радиоактивных шаров
• Нестандартное решение задачи по теории вероятности
• Математические маневры
• Задача о двух мудрецах
• Ранжирование грузов по весу

Задача

На плоскости даны четыре точки. Известно, что шесть попарных расстояний между ними принимают только два различных значения. Какие конфигурации могут образовывать эти точки и каким будет отношение между двумя различными расстояниями?

Впервые я узнал про эту задачу на ежемесячном конкурсе IBM Ponder This, решил её и вскоре с гордостью обнаружил своё имя в списке победителей. А через некоторое время увидел её в сборнике всесоюзных олимпиад где-то за 1936 год. Собственно, задача хороша тем, что проста для понимания и достаточно нетривиальна для разбора. Ниже привожу собственный вариант решения, который я отправлял в IBM. Если вы не торопитесь глядеть в ответ (похвально!), но хотите проверить, все ли вы конфигурации нашли, могу сообщить, что их должно быть 6 (или 9, если ещё кое о чём вспомнить)

Решение

Рассмотрим 3 различных случая:

5 расстояний равны a и шестое расстояние равно b. Тогда обязательно найдётся равносторонний треугольник со сторонами, равными a. Расстояния от четвёртой точки до двух вершин треугольника должно также равняться a, и вместе с отрезком, соединяющим эти две вершины, получится ещё один равносторонний треугольник. Точка D должна лежать в другой полуплоскости относительно BC, чем точка A. Мы получаем ромб со сторонами и одной диагональю a, тогда длина шестого отрезка b= (рис.1)

Рис.2. Находим точки пересечения

Рис.3. Верхняя точка пересечения

Рис.4.Нижняя точка пересечения

Рис.6.Центр описанной окружности

Поскольку расстояние, равное нулю – тоже расстояние, то добавляется ещё 3 варианта расположения точек согласно условию задачи:.

1. ABC: тогда AB=AC=BC=0 и AD=BD=CD=a
2. AB и CD тогда AB=CD=0 и AC=AD=BC=CD=a
3. AB: тогда A, C, D должны образовывать равносторонний треугольник и AB=0 и AC=AD=BC=BD=CD=a. (рис.9)

Рис.9. Совпадающие точки

Подведём итог:

Количество коротких расстояний, Количество длинных расстояний, Отношение между длинными и короткими расстояниями
5 1 1:sqrt(3)
4 2 1:sqrt(2+sqrt(3))
2 4 1:sqrt(2+sqrt(3))
4 2 1:sqrt(2)
3 3 1:sqrt(3)
3 3 1:(1+sqrt(5))/2
С совпадающими точками
3 3 0:любое
2 4 0: любое
1 5 0: любое

Могут ли 4 точки на плоскости быть вершинами разных четырёхугольников

Ответ оставил Гость

прийдется дать ответ. решение смотри в файле

Поделись вопросом в социальных сетях!

Если Вы не получили ответ на свой вопрос, то предлагаем воспользоваться поиском, чтобы найти похожие вопросы и ответы по предмету -> Геометрия. А если Вы знаете правильный ответ сами, то будем признательны если Вы ответите, воспользовавшись формой ниже.