Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Задача о четырёх точках

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Интернет-олимпиада компании IBM

  • IV Интернет-олимпиада по математике/XIV тур Математического Марафона (12)→
  • XV тур математического марафона (12)→
  • Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике (9)→
  • Третья Интернет-олимпиада по математике/XIII тур Математического Марафона (12)→
  • Задачи конкурса Ponder This компании IBM: 7↓
    • Задача о плитках домино
    • Решение числового ребуса
    • Ферзи на шахматной доске
    • Задача о четырёх точках
    • Лягушка на числовой прямой
    • Разрезание квадратной доски
    • Как выиграть в лотерею
  • Задачи областной олимпиады по математике 2010 (5)→
  • Первая открытая Интернет-олимпиада по математике (9)→
  • Задачи областной олимпиады по математике 2009 (5)→
  • Как доказывать олимпиадные неравенства
  • Задачи международного турнира
  • XXI тур Математического Марафона
  • Отбор на XVI Всеукраинский турнир — Часть 2
  • Отбор на XVI Всеукраинский турнир — Часть 1
  • Далеко, далеко, на лугу пасутся ко.
  • Людоед и гномики
  • Поиск фальшивой монеты
  • Два парома
  • Как вычислять бесконечные суммы: часть 1
  • Вариации на тему игры Баше
  • Мотоциклист, велосипедист и пешеход
  • Утроение числа после перестановки цифр
  • Как вычислять бесконечные суммы: часть 2
  • Задача о поиске радиоактивных шаров
  • Нестандартное решение задачи по теории вероятности
  • Математические маневры
  • Задача о двух мудрецах
  • Ранжирование грузов по весу

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Задача

На плоскости даны четыре точки. Известно, что шесть попарных расстояний между ними принимают только два различных значения. Какие конфигурации могут образовывать эти точки и каким будет отношение между двумя различными расстояниями?

Впервые я узнал про эту задачу на ежемесячном конкурсе IBM Ponder This, решил её и вскоре с гордостью обнаружил своё имя в списке победителей. А через некоторое время увидел её в сборнике всесоюзных олимпиад где-то за 1936 год. Собственно, задача хороша тем, что проста для понимания и достаточно нетривиальна для разбора. Ниже привожу собственный вариант решения, который я отправлял в IBM. Если вы не торопитесь глядеть в ответ (похвально!), но хотите проверить, все ли вы конфигурации нашли, могу сообщить, что их должно быть 6 (или 9, если ещё кое о чём вспомнить)

Видео:№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.Скачать

№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.

Решение

Рассмотрим 3 различных случая:

    5 расстояний равны a и шестое расстояние равно b. Тогда обязательно найдётся равносторонний треугольник со сторонами, равными a. Расстояния от четвёртой точки до двух вершин треугольника должно также равняться a, и вместе с отрезком, соединяющим эти две вершины, получится ещё один равносторонний треугольник. Точка D должна лежать в другой полуплоскости относительно BC, чем точка A. Мы получаем ромб со сторонами и одной диагональю a, тогда длина шестого отрезка b=Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников (рис.1)

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Рис.2. Находим точки пересечения

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Рис.3. Верхняя точка пересечения

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Рис.4.Нижняя точка пересечения

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Рис.6.Центр описанной окружности

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Поскольку расстояние, равное нулю – тоже расстояние, то добавляется ещё 3 варианта расположения точек согласно условию задачи:.

  1. AМогут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольниковBМогут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольниковC: тогда AB=AC=BC=0 и AD=BD=CD=a
  2. AМогут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольниковB и CМогут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольниковD тогда AB=CD=0 и AC=AD=BC=CD=a
  3. AМогут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольниковB: тогда A, C, D должны образовывать равносторонний треугольник и AB=0 и AC=AD=BC=BD=CD=a. (рис.9)

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Рис.9. Совпадающие точки

Подведём итог:

Количество коротких расстояний, Количество длинных расстояний, Отношение между длинными и короткими расстояниями
5 1 1:sqrt(3)
4 2 1:sqrt(2+sqrt(3))
2 4 1:sqrt(2+sqrt(3))
4 2 1:sqrt(2)
3 3 1:sqrt(3)
3 3 1:(1+sqrt(5))/2
С совпадающими точками
3 3 0:любое
2 4 0: любое
1 5 0: любое

Видео:№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать

№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

Могут ли 4 точки на плоскости быть вершинами разных четырёхугольников

Ответ оставил Гость

прийдется дать ответ. решение смотри в файле

Могут ли четыре данные точки на плоскости быть вершинами разных четырехугольников

Поделись вопросом в социальных сетях!

Если Вы не получили ответ на свой вопрос, то предлагаем воспользоваться поиском, чтобы найти похожие вопросы и ответы по предмету -> Геометрия. А если Вы знаете правильный ответ сами, то будем признательны если Вы ответите, воспользовавшись формой ниже.

🎥 Видео

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 смСкачать

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см

№3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости;Скачать

№3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости;

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

№567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являютсяСкачать

№567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются

Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости Аналитическая геометрияСкачать

Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости  Аналитическая геометрия

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

ЛоманаяСкачать

Ломаная

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений

Ломаные, многоугольники №1-№8 | Волчкевич, Уроки геометрии в задачахСкачать

Ломаные, многоугольники №1-№8 | Волчкевич, Уроки геометрии в задачах

Ломаные и многоугольники | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачахСкачать

Ломаные и многоугольники | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах
Поделиться или сохранить к себе: