Матрица полных затрат и вектор валового выпуска

С помощью сервиса в онлайн режиме можно:

• найти коэффициенты полных материальных затрат, определить вектор валовой продукции;
• составить межотраслевой баланс, составить схему межотраслевого баланса труда;
• проверить продуктивность матрицы.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Система уравнений X = AX + Y называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (МОБ) или моделью «затраты — выпуск». C помощью нее можно выполнить следующие расчеты:

1. подставив в модель объемы валовой продукции каждой отрасли X_i, можно определить объем конечной продукции отрасли Y_j: Y = (E — A)X
2. задав величины конечной продукции всех отраслей Y_j, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X_i: X = (E — A) -1 Y
3. установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Здесь A – матрица прямых затрат, коэффициенты которой, a_ij показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Введем обозначение B = (E — A) -1 . Матрица B называется матрицей полных материальных затрат, коэффициенты которой, b_ij показывают полный объем продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы продукции j-й отрасли. С учетом линейности соотношений эффект распространения спроса ΔX, вызванный изменением конечного спроса на величину ΔY рассчитывается как: ΔX = B·ΔY
Через C=A-B обозначают матрицу косвенных затрат.

Пример №1 . Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A и вектор конечной продукции Y .

Пример №2 . Дан межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства:

Определить:
1) технологическую матрицу;
2) матрицу коэффициентов полных затрат;
3) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;
4) определить валовый выпуск X’ на новый ассортимент конечной продукции Y’;

Решение.
Находим валовой объем продукции x_i;
x₁ = 20 + 20 + 60 + 100 = 200
x₂ = 20 + 40 + 60 + 80 = 200
x₃ = 20 + 0 + 10 + 70 = 100

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:
a₁₁ = 20/200 = 0.1; a₁₂ = 20/200 = 0.1; a₁₃ = 60/100 = 0.6; a₂₁ = 20/200 = 0.1; a₂₂ = 40/200 = 0.2; a₂₃ = 60/100 = 0.6; a₃₁ = 20/200 = 0.1; a₃₂ = 0/200 = 0; a₃₃ = 10/100 = 0.1;

Определим матрицу коэффициентов полных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.
а) Находим матрицу (E-A):

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A) -1 :

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

Пример №3 . В модели межотраслевого баланса

прибыль D равна:
D = Валовая продукция – Затраты на производство – Оплата труда = 100 – (10+20+30) – 30 = 10.

Определение. Соотношение

называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение называется моделью Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса позволяет решить следующие задачи:

• 1) найти вектор конечного продукта Y при известной матрице прямых затрат и заданном векторе валового продукта Х: ;
• 2) найти вектор валового выпуска Х при известной матрице прямых затрат, который обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y: или , откуда .

Умножив обе части уравнения слева на , получим

Матрица

называется матрицей полных затрат.

Определение. Коэффициентами полных затрат называются величины s_ij валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли .

Заметим, что при известной матрице полных затрат А можно найти матрицу полных затрат

Определение. Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения . В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Заметим, что матрица А продуктивна, если для любых и

и существует номер j такой, что

Определение. Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство данной отрасли.

Пример 1. Данные об исполнении баланса за отчетный период (усл. ден. ед.) приведены в таблице:

Матрица полных затрат и вектор валового выпуска

Модели данного класса регулярно строятся во многих странах мира. С их помощью решаются задачи анализа, планирования и прогнозирования развития экономических систем. Задачи, в решении которых могут быть применены матричные модели:

· регулирование экономического развития;

· расчеты по составлению долгосрочных планов;

· расчеты по оптимизации внешней торговли;

· составление межрегиональных балансов;

· расчеты по ценообразованию и т.д.

Типичным примером матричных моделей считается экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева). За разработку и применение этого метода к решению важных экономических проблем в 1973 году Василий Васильевич Леонтьев был удостоен Нобелевской премии в области экономики.

В западной литературе модели данного класса именуются как метод «затраты-выпуск».

ОБЩАЯ СТРУКТУРА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Центральным элементом матричных моделей является межотраслевой баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между различными отраслями экономики страны.

Производственная сфера экономики представлена в балансе в виде совокупности n отраслей. Баланс состоит из четырех разделов (квадрантов).

Первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь содержится информация о межотраслевых связях.

Величина x_ij показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины x_ij характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью. В i-й строке величины x_i1, x_i2, . x_ij, . x_in описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей. Величины x_1j, x_2j, . x_ij, . x_nj j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на производственные нужды. Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального производства .

В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты:

· в натуральном выражении;

· в денежном (стоимостном) выражении,

· в трудовых измерителях.

Рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины x_ij отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

Сумма по строке представляет собой сумму всех поставок i—й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится промежуточный продукт экономики

Второй раздел посвящен конечному продукту.

Столбец конечного продукта — (n+2)-й столбец. Величина y_i — потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие производственные нужды.

В конечную продукцию, как правило, включаются:

· возмещение выбытия основных средств;

· личное потребление населения;

· расходы на содержание государственного аппарата;

· а также сальдо экспорта и импорта.

Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков (X_i). В пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:

Третий квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена условно чистая продукция (V_j), представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:

Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли .

Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги. Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции

Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается на величины y_i, характеризующие структуру потребления, то в третьем разделе величины V_j показывают, в каких отраслях произведена стоимость конечного продукта.

Четвертый раздел располагается под вторым.

Он характеризует перераспределения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому здесь рассматриваться не будет.

Итак, межотраслевой баланс — это способ представления статистической информации об экономике страны .

Он строится на основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют отчетным. Кроме этого строятся плановые балансы, предназначенные для разработки сбалансированных планов развития экономики.

n СТАТИЧЕСКАЯ МЕЖОТРАСЛЕВАЯ МОДЕЛЬ

Статические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.

При построении модели делают следующие предположения:

1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. предполагается, что каждая отрасль производит один продукт ;

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства ;

3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции ;

4) не допускается замещение одного сырья другим.

В действительности эти предположения не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно: выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции. При этих предположениях величина x_ij может быть представлена следующим образом:

Величина a_ij называется коэффициентом прямых материальных затрат . Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты a_ij считаются в межотраслевой модели постоянными.

МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЯМЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЗАТРАТ

Подставляя выражение (3) в формулу (1), получим (4)

Можно записать в матричном виде

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели .

Их значения могут быть получены двумя путями:

1) статистически : коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы.

2) нормативно : предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат, на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты. Выражение (4) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (4):

где E — единичная матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям. Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат:

1. Неотрицательность , т.е. a_ij ≥ 0, это утверждение следует из неотрицательности величин x_ij и положительности валовых выпусков X_j

2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы . Доказательство:

Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. V_j>0. Поэтому, используя соотношение (2), можно записать:

При выполнении этих двух условий матрица B = (E — A) — 1 существует если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной . Перепишем формулу

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы b_ij называют коэффициентами полных материальных затрат . Коэффициент b_ij показывает, каков должен быть валовой выпуск i—й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

Умножим обе части на (E — A):

Из соотношения (7) следует b_ij ≥ a_ij, таким образом, коэффициент полных материальных затрат b_ij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат a_ij, рассчитываемого на единицу валового выпуска. Кроме того, из соотношения (7) для диагональных элементов матрицы B следует: b_ii ≥ 1, взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проследим на примере.

Пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб. Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат.

Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

Пример : Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y для трехотраслевой экономики

a) коэффициенты полных затрат;

b) вектор валового продукта;

c) межотраслевые поставки продукции;

d) проверить продуктивность матрицы А;

e) заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения использовать функции Excel

Далее вычисляем матрицу коэффициентов полных затрат В-(Е-А).

Для вычисления матрицы В:

a. Выделить диапазон ячеек для размещения матрицы

b. Выбрать функцию МОБР в категории математические

c. Ввести диапазон ячеек, где содержится Е-А

d. Нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER

Все элементы матрицы В неотрицательны, следовательно матрица А продуктивна. Вычислим вектор валового выпуска Х по формуле X = BY

Для умножения матриц необходимо:

a. Выделить диапазон ячеек для размещения результата умножения матриц

b. Выбрать функцию МУМНОЖ в категории математические

c. Ввести диапазоны ячеек, где содержатся матрицы B и Y .

Нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER

1. Области применения матричных моделей?

2. Структура межотраслевого баланса?

3. Связь между конечной и условно чистой продукцией?

4. Экономический смысл, свойства и способы расчета коэффициентов прямых материальных затрат?

5. Коэффициенты полных материальных затрат?

6. Экономический смысл коэффициентов прямых затрат труда.?