Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Признаки параллельности прямых

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ ⊥ МN. Докажем, что и СD ⊥ МN.

Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: ∠1 = ∠2 по условию теоремы; ОK = ОL — по построению;

∠МОL = ∠NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, ΔМОL = ΔNОК, а отсюда и ∠LМО = ∠КNО,
но ∠LМО прямой, значит, и ∠КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например ∠ 3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, как углы вертикальные; значит, ∠2 будет равен ∠1. Но углы 2 и 1 — внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (рис.).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d.

Но ∠3 + ∠2 = 2d, как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°), то эти две прямые параллельны.

Признаки параллельных прямых:

1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти две прямые параллельны.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Аксиома параллельности Евклида

Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.

Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,

Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Проводим МN⊥АВ и через точку М проводим СD⊥МN;

получаем СD⊥МN и АВ⊥МN.

На основании теоремы («Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.») заключаем, что СD || АВ.

2-й с п о с о б (черт. 200).

Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы (Признаки параллельности прямых) заключаем, что ЕF || АВ.

Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?

Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.

В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:

Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.

Принятая Евклидом в его «Началах» аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида.

Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Параллельные прямые.
  • Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
  • Признаки параллельности прямых.
  • Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

  • накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5.
  • односторонние: 3 и 5, 4 и 6.
  • соответственные: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6; 4 и 8.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

  1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
  2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
  3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Докажите: AB ║ CD.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

  1. ∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
  2. ∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
  3. ∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
  4. Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Докажите 1 из признаков параллельных прямых). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.Скачать

Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых, но не принадлежит прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Говорят, что прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпересекаются в точке М.
Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Это можно записать так: Докажите 1 из признаков параллельных прямых— знак принадлежности точки прямой, «Докажите 1 из признаков параллельных прямых» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхперпендикулярны (рис. 12), то пишут Докажите 1 из признаков параллельных прямых

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДокажите 1 из признаков параллельных прямыхb.
  2. Если Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 90°, то а Докажите 1 из признаков параллельных прямыхАВ и b Докажите 1 из признаков параллельных прямыхАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДокажите 1 из признаков параллельных прямыхb.
  3. Если Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2Докажите 1 из признаков параллельных прямых90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Докажите 1 из признаков параллельных прямыхa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Докажите 1 из признаков параллельных прямыхОFА = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2). Из равенства этих треугольников следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямыхЗ = Докажите 1 из признаков параллельных прямых4 и Докажите 1 из признаков параллельных прямых5 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых6.
  6. Так как Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Докажите 1 из признаков параллельных прямых5 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых6 следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых6 = 90°. Получаем, что а Докажите 1 из признаков параллельных прямыхFF1 и b Докажите 1 из признаков параллельных прямыхFF1, а аДокажите 1 из признаков параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых
2) Заметим, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 и Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДокажите 1 из признаков параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Докажите 1 из признаков параллельных прямыхAOF = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 + Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 + Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Докажите 1 из признаков параллельных прямыхl + Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180° и Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 + Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180° следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Докажите 1 из признаков параллельных прямыхa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДокажите 1 из признаков параллельных прямыхb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхF и Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДокажите 1 из признаков параллельных прямыхb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Докажите 1 из признаков параллельных прямыхb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3. Кроме того, Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 и Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Докажите 1 из признаков параллельных прямых4 = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAF. Действительно, Докажите 1 из признаков параллельных прямых4 и Докажите 1 из признаков параллельных прямыхFAC равны как соответственные углы, a Докажите 1 из признаков параллельных прямыхFAC = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 + Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180° (рис. 97, а).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 + Докажите 1 из признаков параллельных прямых3= 180°.

4) Из равенств Докажите 1 из признаков параллельных прямых= Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 и Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 + Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 = 180° следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 + Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAF + Докажите 1 из признаков параллельных прямыхTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДокажите 1 из признаков параллельных прямыха (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Так как Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = 90°, то и Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = 90°, а, значит, сДокажите 1 из признаков параллельных прямыхb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпараллельны, то есть Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямых(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Докажите 1 из признаков параллельных прямых, лучи АВ и КМ.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, то Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямых(рис. 161).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Докажите 1 из признаков параллельных прямых(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Докажите 1 из признаков параллельных прямых, перпендикулярную прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи строят другую перпендикулярную прямую Докажите 1 из признаков параллельных прямых, затем — третью прямую Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи т. д. Поскольку прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямыхперпендикулярны одной прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых, то из указанной теоремы следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых, параллельной прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, то Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхтретьей прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых5,Докажите 1 из признаков параллельных прямых4 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых8,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых6,Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых7,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых5,Докажите 1 из признаков параллельных прямых4 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых8 — соответственные углы;
  • Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых6,Докажите 1 из признаков параллельных прямых4 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых5 — внутренние односторонние углы;
  • Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых7,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых— данные прямые, АВ — секущая, Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 (рис. 166).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказать: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи продлим его до пересечения с прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 по условию, Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBMK =Докажите 1 из признаков параллельных прямыхAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямыхANM =Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBKM = 90°. Тогда прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 (рис. 167).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказать: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи секущей Докажите 1 из признаков параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямыхl +Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180° (рис. 168).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказать: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи секущей Докажите 1 из признаков параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Докажите 1 из признаков параллельных прямыхAOB = Докажите 1 из признаков параллельных прямыхDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAO=Докажите 1 из признаков параллельных прямыхCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAK = 26°, Докажите 1 из признаков параллельных прямыхADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAC = 2 •Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Докажите 1 из признаков параллельных прямыхADK +Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Докажите 1 из признаков параллельных прямых1=Докажите 1 из признаков параллельных прямых2. Так как Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Докажите 1 из признаков параллельных прямых||Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Реальная геометрия

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпроходит через точку М и параллельна прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямых||Докажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых(рис. 187).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказать: Докажите 1 из признаков параллельных прямых||Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Доказательство:

Предположим, что прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых, параллельные третьей прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Докажите 1 из признаков параллельных прямых||Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2,Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых4. Доказать, что Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Так как Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых, то Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Докажите 1 из признаков параллельных прямых, которая параллельна прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых, которые параллельны прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых, АВ — секущая,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказать: Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2.

Доказательство:

Предположим, чтоДокажите 1 из признаков параллельных прямых1 Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых, параллельные прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДокажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямых— секущая,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых2 — соответственные (рис. 196).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказать:Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых, Докажите 1 из признаков параллельных прямых— секущая,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 иДокажите 1 из признаков параллельных прямых2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказать:Докажите 1 из признаков параллельных прямыхl +Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 +Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямыхl =Докажите 1 из признаков параллельных прямых3 как накрест лежащие. Следовательно,Докажите 1 из признаков параллельных прямыхl +Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, т. е.Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 = 90°. Согласно следствию Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, т. е.Докажите 1 из признаков параллельных прямых2 = 90°.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Докажите 1 из признаков параллельных прямыхАОВ =Докажите 1 из признаков параллельных прямыхDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Докажите 1 из признаков параллельных прямыхABD =Докажите 1 из признаков параллельных прямыхCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Докажите 1 из признаков параллельных прямыхADB =Докажите 1 из признаков параллельных прямыхCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхпараллельны, то пишут: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых(рис. 211).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДокажите 1 из признаков параллельных прямых2 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДокажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых3. Значит,Докажите 1 из признаков параллельных прямых1 =Докажите 1 из признаков параллельных прямых2.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи АВДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, то расстояние между прямыми Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых, А Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, С Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, АВДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых, CDДокажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Докажите 1 из признаков параллельных прямыхCAD =Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхравны (см. рис. 285). Прямая Докажите 1 из признаков параллельных прямых, проходящая через точку А параллельно прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых, которая параллельна прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхбудет перпендикуляром и к прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Докажите 1 из признаков параллельных прямыхADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAD +Докажите 1 из признаков параллельных прямыхADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Тогда Докажите 1 из признаков параллельных прямыхBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Докажите 1 из признаков параллельных прямыхАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Докажите 1 из признаков параллельных прямых, параллельную прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Тогда Докажите 1 из признаков параллельных прямых|| Докажите 1 из признаков параллельных прямых. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхравноудалены от прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхна расстояние Докажите 1 из признаков параллельных прямыхАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых, то есть расстояние от точки М до прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхравно Докажите 1 из признаков параллельных прямыхАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Но через точку К проходит единственная прямая Докажите 1 из признаков параллельных прямых, параллельная Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Значит, точка М принадлежит прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых.

Таким образом, все точки прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямыхравноудалены от прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Докажите 1 из признаков параллельных прямых. Прямая Докажите 1 из признаков параллельных прямых, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Докажите 1 из признаков параллельных прямыхДокажите 1 из признаков параллельных прямых

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямых— параллельны.

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Докажите 1 из признаков параллельных прямыхи Докажите 1 из признаков параллельных прямыхесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Докажите 1 из признаков параллельных прямых

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°Скачать

№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 классСкачать

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 класс

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

1 признак параллельности прямых.Скачать

1 признак параллельности прямых.

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Признаки параллельности прямых. Видеоурок по геометрии 7 классСкачать

Признаки параллельности прямых. Видеоурок по геометрии 7 класс

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.Скачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 классСкачать

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: