Любой четырехугольник можно вписать окружность

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Любой четырехугольник можно вписать окружность
    • Четырехугольник
      Любой четырехугольник можно вписать окружность
    • Многоугольник
      Любой четырехугольник можно вписать окружность

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

    №700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

    Любой четырехугольник можно вписать окружность

    Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

    1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны.

    2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

    3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

    Проверим каждое из утверждений.

    1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

    2) «В любой четырёхугольник можно вписать окружность» — неверно, поскольку в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

    3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника» — верно, по свойству треугольника.

    Видео:В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Можно ли вписать четырёхугольник в окружность? Когда можно вписать?

    Содержание:

    Почти в любой четырехугольник можно вписать окружность. Трапеция, прямоугольник и квадрат для этого подходят всегда, тогда как сложные геометрические фигуры с четырьмя углами вписываются в круг избирательно. Рассмотрим условия, при которых 4-угольник может касаться точек на окружности всеми вершинами.

    Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

    Если в четырёхугольник можно вписать окружность

    Вписанный

    Вписанной называется фигура, вершины которой располагаются на окружности. Все треугольники и правильные 4-угольники, вроде квадрата и прямоугольника, размещаются внутри круга, причём их вершины совмещаются с точками на окружности. Вокруг неправильной фигуры с четырьмя углами не всегда можно описать круг. Разбираемся, какие условия нужно выполнить для решения проблемы.

    У квадрата и прямоугольника все углы прямые – равны 90°, но это не ключ к разгадке. Случай с параллелограммом тому подтверждение. Чем примечательны прямоугольные 4-угольники? Может дело в сумме углов?

    Трапеция в круг вписывается, но только равнобедренная. Одно из её свойств – сумма внутренних углов равна 360°, а соседних – 180°. Получается, что четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равняется 180°. Проверим на практике.

    Помните: правило применимо только для выпуклых фигур, расположенных по одну сторону от проходящих через все стороны прямых.

    Любой четырехугольник можно вписать окружность

    Выпуклый дельтоид вписывается в круг, когда имеет пару прямых углов – называется прямоугольным.

    Любой четырехугольник можно вписать окружность

    Задача

    Известны величины двух соседних углов вписанного четырёхугольника: 65° и 83°. Вычислить размеры сразу большего, затем – меньшего из оставшихся.

    Известно, что сумма противоположных углов указанной геометрической фигуры равняется 180°. Отнимем от значения сначала большую цифру, затем – меньшую, чтобы выполнить условия задачи – найти неизвестные значения в указанном порядке.

    180 – 65 = 115° – больший угол, 180 – 83 = 97° – меньший.

    Видео:Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

    В какой четырехугольник можно вписать окружность

    Описанным называют 4-угольник, стороны которого касаются круга. Существует теорема, показывающая, когда в четырехугольник можно вписать окружность: сумма его противоположных сторон должна быть одинаковой: AB + CD = BC + AD. В случае с прямоугольником условие не выполняется.

    Любой четырехугольник можно вписать окружность

    Правило работает для дельтоида, квадрата и даже неправильного выпуклого 4-угольника, подпадающего под теорему.

    Любой четырехугольник можно вписать окружность

    В параллелограмм вписывается круг в случае, если он является ромбом.

    Задача

    Стороны описанной фигуры относятся как 1:2:3. Найти длину четвёртой, если периметр равняется 32 см.

    Любой четырехугольник можно вписать окружность

    Составим уравнение. Зная, что суммы противоположных сторон 4-угольника равны:

    Периметр равняется суме сторон: P = AB + ВС + AD + BC либо x + 2x + 2x + 3x = 32.

    🔍 Видео

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

    Окружность, вписанная в четырехугольник

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

    Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

    вписанный и описанный четырехугольникСкачать

    вписанный и описанный четырехугольник

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

    3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

    3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

    Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

    Вписанный в окружность четырёхугольник.

    В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    найти сторону четырехугольника, в который вписана окружностьСкачать

    найти сторону четырехугольника, в который вписана окружность

    Урок 1. Вписанная окружность в четырехугольник. Теория+ практикаСкачать

    Урок 1. Вписанная окружность в четырехугольник. Теория+ практика

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

    Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

    Вписанные и описанные окружности в четырёхугольникиСкачать

    Вписанные и описанные окружности в четырёхугольники

    В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
    Поделиться или сохранить к себе: