Чему равна величина дуги окружности стягиваемой стороной

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Чему равна дуга окружности стягиваемая

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27880Скачать

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника ?

Геометрия | 5 — 9 классы

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника ?

А)60 б)80 в)120 г)270.

Ответ : в) 120 градусов.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Сторона правильного n — угольника стягивает дугу?

Сторона правильного n — угольника стягивает дугу.

Чему равен внешний угол этого многоугольника?

Видео:Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Сколько имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18 градусам?

Сколько имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18 градусам.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Помогите пожалуйста?

Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона равна 45 градусов.

Видео:Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина окружности равна 30 пи ?

Длина окружности равна 30 пи .

Чему равна хорда стягивающая дугу в 60.

Видео:Параметризация длины дуги окружностиСкачать

1)Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен √3см?

1)Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен √3см.

Найдите периметр и площадь треугольника.

2)Хорда окружности, равная а, стягивает дугу в 90 градусов.

Найдите радиус окружности.

Видео:9 класс, 26 урок, Длина окружностиСкачать

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правельного треугольника?

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правельного треугольника?

А)60 б)120 в) 80 с) правельный ответ отличен от указаных.

Видео:Вершины треугольника делят окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11Скачать

В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной равной 9 см?

В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной равной 9 см.

Найдите длину дуги окружности, стягиваемой стороной шестиугольника.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Хорда окружности равная 13√2 стягивает дугу в 90градусов?

Хорда окружности равная 13√2 стягивает дугу в 90градусов.

Чему равна длина окружности?

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

1. радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен коернь квадратный из 3?

1. радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен коернь квадратный из 3.

Найти периметр и площадь треугольника.

2. Хорда окружности равна а , стягивает дугу 90 градусов.

Найти радиус окружности.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Чему равна величина дуги стягиваемой стороной правильного треугольника?

Чему равна величина дуги стягиваемой стороной правильного треугольника.

Вопрос Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника ?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

В треугольнике АВО ∠В = ∠А = 30⇒∠О = 180 — 60 = 120°⇒ Углы между диагоналями 120°и 60°.

В р. б. Треугольнике углы при основании равны, значит.

Тангенс угла АОБ = БА / ОА = 8 / 8 = 1.

AM + PO + ML — PL = (AM + ML) + (PO — PL) = AL + OL.

Рассмотрим треуг — ки ANC и AMC : У них общее основание — АС, и равные углы при основании, т. К. углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. Имеем : угол NAC = углу MCA по условию задачи, но углы BAC = BCA, то есть равны и другие части ..

Формула а + б разделить на 2 и умножить на высоту.

180 — 30 = 150 150 : 2 = 75 ответ : 75 ; 105.

1) N = K = 45° + 65° = 110° M = P = 360° — (N + K) = 360° — 220° / 2 = 140° / 2 = 70° 2) плохо видно цифру, поэтому напишу как вижу– 35° угол MKF = углу MFK = 35° F = K = 35°×2 = 70° M = E = 360° — (F + K) = 360° — 140° / 2 = 220° / 2 = 110° 3) B = C..

Вот решение задание которое нужно.

В треугольнике 180 градусов : 180 — (80 + 56) = 44.

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что (angle DMB = dfrac (buildrelsmileover — buildrelsmileover )) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = frac buildrelsmileover — frac buildrelsmileover = frac (buildrelsmileover — buildrelsmileover )) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileover right)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover ) .

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover ) .

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover ) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover ) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac ) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

Введение. Длина дуги окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы вспомним, что такое окружность, круг и части круга и числовая окружность. Дадим определение радиана и рассмотрим окружность с единичным радиусом. Далее рассмотрим четыре четверти окружности и решим несколько примеров на нахождение длины дуги единичной окружности.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника ?

Геометрия | 5 — 9 классы

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника ?

А)60 б)80 в)120 г)270.

Ответ : в) 120 градусов.

Сторона правильного n — угольника стягивает дугу?

Сторона правильного n — угольника стягивает дугу.

Чему равен внешний угол этого многоугольника?

Сколько имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18 градусам?

Сколько имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18 градусам.

Помогите пожалуйста?

Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона равна 45 градусов.

Длина окружности равна 30 пи ?

Длина окружности равна 30 пи .

Чему равна хорда стягивающая дугу в 60.

1)Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен √3см?

1)Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен √3см.

Найдите периметр и площадь треугольника.

2)Хорда окружности, равная а, стягивает дугу в 90 градусов.

Найдите радиус окружности.

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правельного треугольника?

Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правельного треугольника?

А)60 б)120 в) 80 с) правельный ответ отличен от указаных.

В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной равной 9 см?

В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной равной 9 см.

Найдите длину дуги окружности, стягиваемой стороной шестиугольника.

Хорда окружности равная 13√2 стягивает дугу в 90градусов?

Хорда окружности равная 13√2 стягивает дугу в 90градусов.

Чему равна длина окружности?

1. радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен коернь квадратный из 3?

1. радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен коернь квадратный из 3.

Найти периметр и площадь треугольника.

2. Хорда окружности равна а , стягивает дугу 90 градусов.

Найти радиус окружности.

Чему равна величина дуги стягиваемой стороной правильного треугольника?

Чему равна величина дуги стягиваемой стороной правильного треугольника.

Вопрос Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного треугольника ?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

Ну я не могу это решить но попробуем так 1 а п минус от будет до 2 SB + это будет db 3 а + д а это будет а а 4 D + будет ДТП 5 А Б плюс б ц будет AB 6 AC + DC будет п.

(32 — х) * 6 — 39 = 45 192 — 6х — 39 = 45 153 — 6х = 45 — 6х = 45 — 153 — 6х = — 108 х = — 108 : ( — 6) х = 18. Ответ : 18. (275 + 80 : х) : 4 = 70 275 + 80 : х = 70•4 275 + 80 : х = 280 80 : х = 280 — 275 80 : х = 5 5х = 80 х = 80 : 5 х = 16. Отв..

Первое — (45 + 39) : 6 = 14 х = 32 — 14 х = 18 второе — 275 + 80 : x = 70×4275 + 80 : x = 28080 : x = 280 — 27580 : x = 5х = 16.

У равнобедренных треугольников нет название сторон.

Доказывается наложением одного из треугольников на другой. Треугольники полностью совместятся, следовательно, по определению они равны.

Решение во вложении — — — — — — — — — — — — -.

Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 45° — следовательно, все ребра равны, а их проекции равны радиусу описанной около основания пирамиды окружности, Основание высоты пирамиды — центр О описанной окружности. . Величина её ра..

Угол А = углу С(как углы при осночании равнобедренного треугольника) угол А = углу С = (180° — 50°)÷2 угол А = углу С = 65°.

Поза межами кола. Додаток.

По теореме косинусов BC² = AB² + AC² — 2 * AB * AC * cosA BC² = 64 BC = 8.