Лапласиан вектор или скаляр

Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие о криволинейных координатах

Содержание:

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор- ными свойствами.

Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование: В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы: 1.

Если — скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим где P, Q, R — дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 3.

Вычисляя векторное произведение [V, а], получим Для постоянной функции и = с получим а для постоянного вектора с будем иметь Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V — линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним.

В этом смысле, например, — скалярный дифференциальный оператор.

Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения. Пример 1. Доказать, что По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем или Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается. Пример 2.

Пусть u(xty,z) — скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) — векторная дифференцируемая функция. Доказать, что 4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем . Так как ие — постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что а (на последнем шаге мы опустили индекс е). В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому В итоге получаем Замечай ие 2.

Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором — он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор [V,aJ не будет, вообще говоря, перпендикулярным вектору а (впрочем, для плоского поля вектор перпендикулярен плоскости ,а значит, и вектору а).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Не имеет смысла и понятие коллинеарности по отношению к символическому вектору V. Например, выражение , где V и ^ — скалярные функции, формально напоминает векторное произведение двух коллинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Однако вобшем случае это не имеет места. В самом деле, вектор = grad направлен по нормали к поверхности уровня , а вектор Vy = grad t> определяет нормаль к поверхности уровня i> = const.

Вобшем случае эти нормали не обязаны

быть коллннеарнымн (рис. 40). С другой стороны, в любом дифференцируемом скалярном поле ) имеем Эта примеры показывают, что с оператором «набла» нужно обращаться с большой осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить аналитическими методами. §12. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора V. 1.

Скалярное поле

В этом поле оператор V порождает векторное поле В векторном поле grad и можно определить две операции: что приводит к скалярному полю, и что приводит к векторному полю. 2. Пусть задано векторное поле . Тогда оператор V порождает в нем скалярное поле В скалярном поле div а оператор V порождает векторное поле 3.

В векторном поле оператор V порождает также векторное поле Применяя к этому полю снова оператор V, получим: а) скалярное поле Выберем в пространстве прямоугольнуюдекартову систему координат Oxyz и рассмотрим каждую из формул (1)-(5) более подробно. 1. Предполагая, что функция имеет непрерывные вторые частные производные , получим Символ называется оператором Лапласа, или лапласианом. Его можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона V на самого себя,т. е. Оператор Д (дельта) играет важную роль в математической физике.

Уравнение называется уравнением Лапласа. С его помощью описывается, например, стационарное распределение тепла. Скалярное поле и, удовлетворяющее условию , называется лапла-совым или гармоническим полем. Например, скалярное поле является гармоническим во воем трехмерном пространстве: из того, что получаем Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 2.

Пусть функция и имеет непрерывные частные производные второго порядка включительно. Тогда В самом деле, действуя формально, получим ибо как векторное произведение двух одинаковых «векторов». Tor же результат можно получить, используя выражения градиента и ротора в декартовых координатах Пусть задано векторное поле координаты которого P, Q, R имеют непрерывные частные производные второго порядка. Тогда получим 4. При тех же условиях, что и в пункте 3, имеем Это соотношение уже было доказано ранее путем непосредственных вычислений.

Здесь мы приведем его формальное доказательство, используя известную формулу из векторной алгебры Имеем как векторное произведение двух одинаковых «векторов». 5. Покажем, наконец, что при тех же условиях, что и ранее, Так как то, полагая в формуле для двойного векторного произведения получим Поэтому окончательно будем иметь где grad diva выражается по формуле (8), а Да для вектора надо понимать так:. В заключение приведем таблицу дифференциальных операций второго порядка. Скалярное поле Векторное поле Заштрихованные прямоугольники означают, что соответствующая операция не имеет смысла (например, градиент от. § 13.

Понятие о криволинейных координатах Во многих задачах бывает удобно определять положение точки пространства не декартовыми координатами ), а тремя другими числами (qh 42,4з), более естественно связанными с рассматриваемой части ой задачей. Если задано правило, согласно которому каждой точке М пространства отвечает определенная тройка чисел и, обратно, каждой такой тройке чисел отвечает единственная точка М, то говорят, что в пространстве задана криволинейная координатная система.

В этом случае величины ф, называют криволинейными координатами точки М. Координатными поверхностями в системе криволинейных координат qtqi, Яз называются поверхности На координатных поверхностях одна из координат сохраняет постоянное значение. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. В качестве примеров криволинейных координат рассмотрим цилиндрические и сферические координаты. 13.1.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется тремя координатами: (р = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz z = const — плоскости, перпендикулярные оси Oz (рис. 41). Координатные линии: 1) линии (р) — лучи, перпендикулярные оси Oz и имеющие начало на этой оси, т.е. линии пересечения координатных поверхностей у? = const, z = const; 2) линии (ip) — окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Oz 3) линии (z) — прямые, параллельные оси Связь декартовых координат точки с цилиндрическими координатами ( задается формулами 13.2.

Сферические координаты В сферических координатах положение точки Af в пространстве определяется следующими координатами: Координатные поверхности (рис.42): г = const — сферы с центром в точке О; • в = const — круговые полуконусы с осью полуплоскости, примыкающие к оси Oz. Координатные линии: 1) линии (г) — лучи, выходящие източки О; 2) линии (в) — меридианы на сфере; 3) линии — параллели на сфере. Связь декартовых координат (х, у, z) точки М с ее сферическими координатами задается формулами.

Введем единичные векторы (орты), направленные по касательным к коор-динатнымлиниям вточке М всторонувозрастанияпеременных qx, q2, соответствен но. Определение. Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке М орты попарно ортогональны. В такой системе ортогональны и координатные линии, и координатные поверхности. Примерами ортогональных криволинейных координат служатсистемы цилиндрических и сферических координат.

Мы ограничимся рассмотрением только ортогональных систем координат. Пусть — радиус-вектор точки М — Тогда можно показать, что Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты Аналогично для сферических координат имеем Величины являются дифференциалами длин дуг соответс твующих координатных линий.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Скалярные и векторные величины, основные определения.Скачать

Скалярные и векторные величины, основные определения.

Оператор Лапласа

Оператор Лапласа — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции F он ставит в соответствие функцию

Лапласиан вектор или скаляр

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

Лапласиан вектор или скаляр

Градиент— вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , где — некоторая скалярная функция координат x,y,z.

Если — функция n переменных то ее градиентом называется n-мерный вектор

Лапласиан вектор или скаляр

Компоненты которого равны частным производным по всем ее аргументам. Градиент обозначается grad, или с использованием оператора набла,

Из определения градиента следует, что:

Лапласиан вектор или скаляр

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе.

Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

Лапласиан вектор или скалярЛапласиан вектор или скаляр

Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

Дивергенция — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или

Определение дивергенции выглядит так:

Лапласиан вектор или скаляр

где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля gradF в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

Видео:Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор ЛапласаСкачать

Оператор набла (оператор Гамильтона) и оператор Лапласа

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор Лапласиан вектор или скаляр, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция Лапласиан вектор или скалярне зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

Лапласиан вектор или скаляр

(Наряду с обозначениями Лапласиан вектор или скаляриспользуют запись Лапласиан вектор или скаляр— радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор Лапласиан вектор или скаляр, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Лапласиан вектор или скаляр

Вектор Лапласиан вектор или скалярможно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Лапласиан вектор или скаляр

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора Лапласиан вектор или скалярна оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора Лапласиан вектор или скалярравна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Лапласиан вектор или скаляр

Векторное поле называется однородным, если Лапласиан вектор или скаляр— постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция Лапласиан вектор или скаляропределяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле Лапласиан вектор или скаляропределено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней Лапласиан вектор или скаляр).

Пример:

Найти поле линейной скорости Лапласиан вектор или скалярматериальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью Лапласиан вектор или скалярвокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора Лапласиан вектор или скаляр, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

Построим радиус-вектор Лапласиан вектор или скалярточки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости Лапласиан вектор или скаляр(модуль), как известно из курса физики, равно Лапласиан вектор или скаляр, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но Лапласиан вектор или скаляр— угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, Лапласиан вектор или скаляр

Вектор скорости Лапласиан вектор или скалярнаправлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения Лапласиан вектор или скалярвекторы Лапласиан вектор или скаляробразуют правую тройку). Следовательно, Лапласиан вектор или скалярт. е.

Лапласиан вектор или скаляр

или Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Поле линейных скоростей Лапласиан вектор или скаляртела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Лапласиан вектор или скаляр

Видео:Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.Скачать

Оператор Набла. Градиент. Дивергенция. Ротор. Лапласиан.

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Лапласиан вектор или скаляр

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

Лапласиан вектор или скаляр

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: Лапласиан вектор или скалярВ частности, при с = 1 получим Лапласиан вектор или скаляр, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении Лапласиан вектор или скаляр. Пусть вектор Лапласиан вектор или скаляримеет начало в точке М и направляющие косинусы Лапласиан вектор или скаляр

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке Лапласиан вектор или скалярв направлении вектора Лапласиан вектор или скаляропределяется как

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению Лапласиан вектор или скалярназывается предел

Лапласиан вектор или скаляр

Производная по направлению Лапласиан вектор или скаляри характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если Лапласиан вектор или скаляр> 0, то функция U возрастает в направлении Лапласиан вектор или скаляр, если Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляр— бесконечно малые функции при Лапласиан вектор или скаляр(см. п. 44.3). Поскольку

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Переходя к пределу при Лапласиан вектор или скалярполучим формулу для вычисления производной по направлению:

Лапласиан вектор или скаляр

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

Формула (70.2) принимает вид:

Лапласиан вектор или скаляр

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Лапласиан вектор или скалярИх можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Лапласиан вектор или скалярсовпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) Лапласиан вектор или скалярполучим

Пример:

Найти производную функции Лапласиан вектор или скалярв точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Лапласиан вектор или скаляр
Решение:

Находим вектор Лапласиан вектор или скаляри его направляющие косинусы:

Лапласиан вектор или скаляр

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Лапласиан вектор или скаляр

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении Лапласиан вектор или скалярпроизводная Лапласиан вектор или скаляримеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

Лапласиан вектор или скаляр

и некоторого вектора

Лапласиан вектор или скаляр

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляругол между вектором grad U и направлением Лапласиан вектор или скаляр(см. рис. 269).

Лапласиан вектор или скаляр

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Лапласиан вектор или скалярТаким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

Лапласиан вектор или скаляр

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Лапласиан вектор или скалярНо тогда из (70.3) следует, что Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Лапласиан вектор или скаляр

Решение:

Лапласиан вектор или скаляр

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Лапласиан вектор или скаляр

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью Лапласиан вектор или скаляр, если точка А движется в направлении Лапласиан вектор или скаляр(антиградиентное направление).

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором Лапласиан вектор или скаляр. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля Лапласиан вектор или скалярназывается линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора Лапласиан вектор или скаляр.

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

Лапласиан вектор или скаляр

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Лапласиан вектор или скаляр

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, Лапласиан вектор или скаляр— ее радиус-вектор. Тогда вектор Лапласиан вектор или скалярнаправлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов Лапласиан вектор или скалярследует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Лапласиан вектор или скалярвокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором Лапласиан вектор или скаляр(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

Интегрируя, получим: Лапласиан вектор или скалярт. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Лапласиан вектор или скалярвектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть Лапласиан вектор или скаляр— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Лапласиан вектор или скалярВыберем в каждой площадке точку Лапласиан вектор или скаляр(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости Лапласиан вектор или скалярв каждой точке: .Лапласиан вектор или скаляр.

Лапласиан вектор или скаляр

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Лапласиан вектор или скалярпостоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через Лапласиан вектор или скалярпротекает количество жидкости, приближенно равное Лапласиан вектор или скаляр— площадь i-й площадки,Лапласиан вектор или скаляр— высота i-гo цилиндра с образующей Лапласиан вектор или скаляр. Но Я, является проекцией вектора Лапласиан вектор или скалярна нормаль Лапласиан вектор или скаляр— единичный вектор нормали к поверхности в точке Лапласиан вектор или скаляр. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Лапласиан вектор или скаляр

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Лапласиан вектор или скалярплощадок):

Лапласиан вектор или скаляр

Независимо от физического смысла поля Лапласиан вектор или скалярполученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Лапласиан вектор или скаляр через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Лапласиан вектор или скаляр

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляр— проекция вектора а на направление нормали Лапласиан вектор или скаляр— дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

Лапласиан вектор или скаляр

где вектор Лапласиан вектор или скалярнаправлен по нормали к поверхности, причем Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

— проекции вектора Лапласиан вектор или скалярна соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора Лапласиан вектор или скаляр, можно записать в виде

Лапласиан вектор или скаляр

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Лапласиан вектор или скаляр

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

Лапласиан вектор или скаляр

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле Лапласиан вектор или скаляресть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором Лапласиан вектор или скалярострый угол и Лапласиан вектор или скалярв точках, где векторные линии входят в объем, Лапласиан вектор или скаляр).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К Лапласиан вектор или скаляр

Пример:

Найти поток вектора Лапласиан вектор или скалярчерез верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть Лапласиан вектор или скалярна верхней стороне Лапласиан вектор или скалярпоэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Лапласиан вектор или скаляр

Итак, Лапласиан вектор или скалярНаходимЛапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

В результате имеем: Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Пример:

Найти поток радиус-вектора Лапласиан вектор или скалярчерез внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Лапласиан вектор или скаляр

Очевидно, чтоЛапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

т. к. Лапласиан вектор или скаляр

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Лапласиан вектор или скаляр

в точке М называется скаляр вида Лапласиан вектор или скаляри обозначается символом Лапласиан вектор или скаляр, т. е.

Лапласиан вектор или скаляр

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. Если Лапласиан вектор или скаляр— постоянный вектор, то Лапласиан вектор или скаляр
  2. Лапласиан вектор или скаляргде с = const.
  3. Лапласиан вектор или скалярт. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, Лапласиан вектор или скаляр— вектор, то

Лапласиан вектор или скаляр

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Лапласиан вектор или скалярто

Лапласиан вектор или скаляр

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Лапласиан вектор или скаляр

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Лапласиан вектор или скалярчерез поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Лапласиан вектор или скаляр. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Лапласиан вектор или скаляр

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Лапласиан вектор или скалярв точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляр— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Лапласиан вектор или скалярОтсюда

Лапласиан вектор или скаляр

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда Лапласиан вектор или скаляр, и мы получаем выражение для Лапласиан вектор или скалярв точке М:

Лапласиан вектор или скаляр

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Лапласиан вектор или скаляр

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что Лапласиан вектор или скаляресть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Лапласиан вектор или скалярточка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при Лапласиан вектор или скалярточка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Лапласиан вектор или скалярхарактеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то Лапласиан вектор или скаляр

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Лапласиан вектор или скалярназывается соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Лапласиан вектор или скаляржидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Лапласиан вектор или скаляр.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Лапласиан вектор или скалярИмеем:

Лапласиан вектор или скаляр

Поле Лапласиан вектор или скаляр— соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть Лапласиан вектор или скаляр— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор Лапласиан вектор или скалярнаправлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и Лапласиан вектор или скаляр— дифференциал дуги кривой Лапласиан вектор или скаляр

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора Лапласиан вектор или скалярна вектор Лапласиан вектор или скаляр, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляр— проекция вектора Лапласиан вектор или скалярна касательную Лапласиан вектор или скаляр, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы Лапласиан вектор или скалярполя при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение Лапласиан вектор или скалярсохраняет знак: положительный, если направление вектора Лапласиан вектор или скалярсовпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) Лапласиан вектор или скалярвдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости Лапласиан вектор или скаляр, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости Лапласиан вектор или скалярсовпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол Лапласиан вектор или скалярс осью Oz, то циркуляция будет равна Лапласиан вектор или скалярс изменением угла Лапласиан вектор или скалярвеличина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Лапласиан вектор или скаляр

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Лапласиан вектор или скаляр

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

Лапласиан вектор или скаляр

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

Лапласиан вектор или скаляр

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Лапласиан вектор или скаляр

называется вектор, обозначаемый Лапласиан вектор или скаляри определяемый формулой

Лапласиан вектор или скаляр

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Лапласиан вектор или скаляр

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Лапласиан вектор или скаляр— постоянный вектор, то Лапласиан вектор или скаляр
  2. Лапласиан вектор или скаляр
  3. Лапласиан вектор или скалярт. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, а Лапласиан вектор или скаляр— векторная, то

Лапласиан вектор или скаляр

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Лапласиан вектор или скаляр

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Лапласиан вектор или скаляр

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Лапласиан вектор или скалярпо контуру L, т. е. Лапласиан вектор или скаляр(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Лапласиан вектор или скалярчерез поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Лапласиан вектор или скаляр

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Лапласиан вектор или скаляр вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора Лапласиан вектор или скаляр через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляр— некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Лапласиан вектор или скаляр

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Лапласиан вектор или скалярПерейдя к пределу, получаем:

Лапласиан вектор или скаляр

Ротором вектора Лапласиан вектор или скаляр в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Лапласиан вектор или скаляресть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Лапласиан вектор или скаляр, т. е. ротор вектора Лапласиан вектор или скаляр

По определению ротора

Лапласиан вектор или скаляр

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Лапласиан вектор или скалярпредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем Лапласиан вектор или скалярявляются gradU, Лапласиан вектор или скалярДействия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Лапласиан вектор или скаляр

Этот символический вектор называют также оператором Лапласиан вектор или скаляр(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Лапласиан вектор или скалярна скаляр U или вектор Лапласиан вектор или скалярпроизводится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов Лапласиан вектор или скалярна величины Лапласиан вектор или скалярпонимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Лапласиан вектор или скаляр

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляр

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

Лапласиан вектор или скаляр

(Понятно, что операция Лапласиан вектор или скалярнапример, не имеет смысла: Лапласиан вектор или скаляр— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о Лапласиан вектор или скалярбессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Лапласиан вектор или скаляр

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается Лапласиан вектор или скаляр. Таким образом,

Лапласиан вектор или скаляр

Дифференциальное уравнение Лапласа Лапласиан вектор или скаляриграет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

Лапласиан вектор или скаляр

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. Лапласиан вектор или скаляртак как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

Лапласиан вектор или скаляр

4. Лапласиан вектор или скаляртак как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

Лапласиан вектор или скаляр

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Лапласиан вектор или скаляр

Здесь Лапласиан вектор или скаляр— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору Лапласиан вектор или скаляр.

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле Лапласиан вектор или скалярназывается соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. Лапласиан вектор или скаляр

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

  1. В соленоидальном поле Лапласиан вектор или скалярпоток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Лапласиан вектор или скаляр, то существует такое поле Лапласиан вектор или скаляр, что Лапласиан вектор или скаляр. Вектор Лапласиан вектор или скалярназывается векторным потенциалом поляЛапласиан вектор или скаляр.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что Лапласиан вектор или скаляр).

3. В соленоидальном поле Лапласиан вектор или скалярпоток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями Лапласиан вектор или скалярбоковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Лапласиан вектор или скалярравен нулю. Следовательно,

Лапласиан вектор или скаляр

где n — внешняя нормаль.

Лапласиан вектор или скаляр

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то Лапласиан вектор или скаляри, следовательно,

Лапласиан вектор или скаляр

Переменив направление нормали на площадке Лапласиан вектор или скаляр, т.е. взяв внутреннюю нормаль Лапласиан вектор или скалярполучим:

Лапласиан вектор или скаляр

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле Лапласиан вектор или скалярназывается потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Лапласиан вектор или скалярПримером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля Лапласиан вектор или скалярпо любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

Лапласиан вектор или скаляр

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле Лапласиан вектор или скаляркриволинейный интеграл Лапласиан вектор или скалярвдоль любой кривой L с началом в точке Лапласиан вектор или скаляри концом в точке Лапласиан вектор или скалярзависит только от положения точек Лапласиан вектор или скаляри не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки Лапласиан вектор или скалярсоединим их двумя кривыми Лапласиан вектор или скаляртак, чтобы контур Лапласиан вектор или скалярлежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Лапласиан вектор или скаляр

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если Лапласиан вектор или скаляр, то существует функция U (х; у; z) такая, что Лапласиан вектор или скаляр

Из равенства Лапласиан вектор или скалярвытекает, что Лапласиан вектор или скалярт. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Лапласиан вектор или скаляр

Отсюда: Лапласиан вектор или скалярСледовательно,

Лапласиан вектор или скаляр

т. е. вектор поля Лапласиан вектор или скалярявляется градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства Лапласиан вектор или скалярследует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Лапласиан вектор или скаляр

где Лапласиан вектор или скаляр— координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле Лапласиан вектор или скалярназывается потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. Лапласиан вектор или скаляр. (Иногда пишут Лапласиан вектор или скаляр; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

Лапласиан вектор или скаляр

и найти его потенциал.

Решение:

Лапласиан вектор или скаляр

Следовательно, поле вектора Лапласиан вектор или скалярпотенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Лапласиан вектор или скалярТак как

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Гармоническое поле

Векторное поле Лапласиан вектор или скалярназывается гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле Лапласиан вектор или скалярпотенциально, то его можно записать в виде Лапласиан вектор или скаляр— потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

Лапласиан вектор или скаляр

или, что то же самое,

Лапласиан вектор или скаляр

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Лапласиан вектор или скаляр

Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр Лапласиан вектор или скаляр

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🎥 Видео

Сравнение скалярного и векторного произведений векторов (видео 16) | Магнетизм | ФизикаСкачать

Сравнение скалярного и векторного произведений векторов (видео 16) | Магнетизм | Физика

Введение в векторы и скаляры (видео 1)| Векторы. Прямолинейное движение | ФизикаСкачать

Введение в векторы и скаляры (видео 1)| Векторы. Прямолинейное движение  | Физика

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Оператор Набла за 10 минут. Градиент, Дивергенция, Ротор, ЛапласианСкачать

Оператор Набла за 10 минут. Градиент, Дивергенция, Ротор, Лапласиан

Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.Скачать

Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярное и векторное поля. Определения и отличия.Скачать

Скалярное и векторное поля. Определения и отличия.

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2

Оператор ЛапласаСкачать

Оператор Лапласа

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Математика без Ху!ни. Свойства скалярного и векторного произведений.Скачать

Математика без Ху!ни. Свойства скалярного и векторного произведений.

✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис ТрушинСкачать

✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис Трушин

Скалярное произведение векторов.Скачать

Скалярное произведение векторов.

Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля
Поделиться или сохранить к себе: