Видео:Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.Скачать
Скалярное произведение векторов
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα
Алгебраическая интерпретация.
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
Сначала докажем равенства
для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем
Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.
Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:
a * b = ax * bx + ay * by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:
a * b = ax * bx + ay * by + az * bz
Формула скалярного произведения n-мерных векторов
В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:
a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + . + an * bn
Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать
Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.
→0 * →0 = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
→a * →a = →∣∣a∣∣2
Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:
→a * →b = →b * →a
Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:
(→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c
Сочетательный закон для скалярного произведения:
(k * →a) * →b = k * (→a * →b)
Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:
a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)
По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.
Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,
Видео:Скалярные и векторные величины, основные определения.Скачать
Примеры вычислений скалярного произведения
Пример 1.
Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:
Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.
По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем
Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем
Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Пример 4.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Введем систему координат.
Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.
Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).
Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:
Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:
Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно
б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)
Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.
Обратите внимание на два существенных момента:
В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.
Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.
По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:
Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.
Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).
Вычислим скалярное произведение:
Вычислим длины векторов:
Найдем косинус угла:
Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:
Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.
Найдём сам угол:
Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.
Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°
Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.
А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
В физике существуют скалярные величины (скаляры) и векторные величины (векторы). Хотя, правильнее в последнем случае все-таки говорить векторная величина, часто говорят, например, «вектор скорости».
Упрощенно можно сказать, что скаляр — это просто число.
Векторная величина — это когда есть число, которое имеет еще и направление в пространстве. Вектор в трехмерном пространстве можно представить в виде тройки чисел, каждое из которых есть компонента вектора относительно соответствующей координаты в трехмерной системе координат.
Чтобы совсем запутаться, рекомендую обратиться к Википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Векторная_величина.
Для тех, кто любит попроще — первый том Фейнмановских лекций по физике.
Для нас важно понять два момента:
1) Примерами скаляров являются: длина, площадь, время, масса, плотность, температура и т.п.
Для наших задач достаточно понимания скаляра, как величины (числа с размерностью) без направления.
2) Под вектором мы будем понимать направленный отрезок. То есть три числа (мы ведь живем в трехмерном пространстве), которые преобразуются по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой.
Попробуем обойтись без математических формул этих правил. Просто представим в нашем трехмерном пространстве направленный отрезок. Некую стрелку, которая, для простоты, неподвижна, неизменна, и имеет направление от одного конца к другому. Или даже представим, что у нас есть определенная операция перемещения в пространстве. У нее есть величина (расстояние перемещения по прямой из начальной точки в конечную) и направление.
И представим систему координат (например, прямоугольную), которая неподвижна относительно нас, и начало отсчета которой совпадает с началом нашего направленного отрезка.
Отлично! Тогда координаты «заостренного» конца нашего «направленного» отрезка с началом в точке (0,0,0) в этой системе координат будут выражаться тремя числами (Ах, Аy, Аz). Будет ли эта тройка чисел вектором?
Будет! Мы же сами задали эти три числа, как координаты вектора .
Теперь мы берем и поворачиваем произвольно нашу систему координат (но пока не сдвигаем начало координат). Тогда в новой системе координат координаты нашего вектора будут (Аx’, Аy’, Аz’). Заметьте, сам наш вектор (направленный отрезок в трехмерном пространстве) не изменился. Как бы мы не вращали систему координат, тройка чисел будет меняться, но вектор (в смысле направленного отрезка) останется на своем месте. Он смотрит в одну и ту же «точку вселенной». О как! И длина его не меняется из-за вращения системы координат.
А теперь вывод. То, что важно для физики!
Если у нас есть три какие-то величины (возможно, мы даже не знаем, связаны ли они между собой), которые изменяются с изменением системы координат, по такому же закону, по которому изменяются компоненты вектораиз предыдущего абзаца ((Ах, Аy, Аz) —> (Аx’, Аy’, Аz’)), то мы можем смело утверждать, что эти три величины представляют собой компоненты какого-то вектора.
Формулы можно посмотреть у Фейнмана или еще где-нибудь. Они пока для понимания не столь важны. А важно следующее!
Рассмотрим подробнее физические величины в нашем трехмерном пространстве. Зададим прямоугольную систему координат X,Y,Z . Помним, что у нас есть еще время t.
Теперь посмотрим, что есть что.
Путь вектор или скаляр? Скаляр. Почему?
Перемещение — вектор. У перемещения есть начало и конец, есть величина перемещения и направление перемещения. Таким образом, у него три компоненты — три величины, по одной на каждую из координат.
Далее сами перебираем физические величины и определяем, что есть скаляр, а что вектор!
Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Знакомимся с вектором
Основы линейной алгебры для тех, кого это миновало в универе.
Вы наверняка слышали много историй о программистах, которые учились в технических вузах, изучали высшую математику и теперь пользуются этими знаниями в программировании. И если кого-то это не коснулось, может быть ощущение, что он пропустил в жизни что-то важное.
Будем это исправлять. Попробуем разобрать некоторые базовые понятия из математики за пределами школьной программы. И заодно покажем, как оно связано с программированием и для каких задач полезно.
⚠️ Математики, помогайте. Мы тут многое упростили, поэтому будем рады увидеть ваши уточнения и замечания в комментариях.
Есть математика: она изучает абстрактные объекты и их взаимосвязи. Благодаря математике мы знаем, что если сложить два объекта с ещё двумя такими же объектами, то получится четыре объекта. И неважно, что это были за объекты: яблоки, козы или ракеты. Математика берёт наш вещественный мир и изучает его более абстрактные свойства.
Внутри математики есть алгебра: если совсем примитивно, то в алгебре мы вместо чисел начинаем подставлять буквы и изучать ещё более абстрактные свойства объектов.
Например, мы знаем, что если a + b = c , то a = c − b . Мы не знаем, что стоит на местах a, b или c, но для нас это такой абстрактный закон, который подтверждается практикой.
Внутри алгебры есть линейная алгебра — она изучает векторы, векторные пространства и другие абстрактные понятия, которые в целом относятся к некой упорядоченной информации. Например, координаты ракеты в космосе, биржевые котировки, расположение пикселей в изображении — всё это примеры упорядоченной информации, которую можно описывать векторами. И вот их изучает линейная алгебра.
В программировании линейная алгебра нужна в дата-сайенс, где из упорядоченной информации создаются алгоритмы машинного обучения.
Если представить линейную алгебру в виде дома, то вектор — это кирпич, из которого всё состоит. Сегодня разберёмся, что такое вектор и как его понимать.
Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать
Что такое вектор
Вы наверняка помните вектор из школьной программы — это такая стрелочка. Она направлена в пространство и измеряется двумя параметрами: длиной и направлением. Пока длина и направление не меняются, вектор может перемещаться в пространстве.
Физическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве
У аналитиков вектор представляется в виде упорядоченного списка чисел: это может быть любая информация, которую можно измерить и последовательно записать. Для примера возьмём рынок недвижимости, который нужно проанализировать по площади и цене домов — получаем вектор, где первая цифра отвечает за площадь, а вторая — за цену. Аналогично можно сортировать любые данные.
Аналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа
Математики обобщают оба подхода и считают вектор одновременно стрелкой и числом — это связанные понятия, перетекающие друг в друга в зависимости от задачи. В одних случаях удобней считать, а в других — показать всё графически. В обоих случаях перед нами вектор.
Математическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график
В дата-сайенс используется математическое представление вектора — программист может обработать данные и визуализировать результат. В отличие от физического представления, стрелки векторов в математике привязаны к системе координат Х и У — они не блуждают в пространстве, а исходят из нулевой точки.
Векторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат
👉 Получается, вектор – это такой способ записывать, хранить и обрабатывать не одно число, а какое-то организованное множество чисел. Благодаря векторам мы можем представить это множество как единый объект и изучать его взаимодействие с другими объектами.
Например, можно взять много векторов с ценами на недвижимость, как-то их проанализировать, усреднить и обучить на них алгоритм. Без векторов это были бы просто «рассыпанные» данные, а с векторами — порядок.
Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
Как записывать
Вектор можно записать в строку или в столбец. Для строчной записи вектор обозначают одной буквой, ставят над ней черту, открывают круглые скобки и через запятую записывают координаты вектора. Для записи в столбец координаты вектора нужно взять в круглые или квадратные скобки — допустим любой вариант.
Строгий порядок записи делает так, что каждый набор чисел создаёт только один вектор, а каждый вектор ассоциируется только с одним набором чисел. Это значит, что если у нас есть координаты вектора, то мы их не сможем перепутать.
Способы записи вектора
Скаляр
Помимо понятия вектора есть понятие скаляра. Скаляр — это просто одно число. Можно сказать, что скаляр — это вектор, который состоит из одной координаты.
Помните физику? Есть скалярные величины и есть векторные. Скалярные как бы описывают просто состояние, например, температуру. Векторные величины ещё и описывают направление.
Вектор из одного числа (скаляр) отображается в виде точки на числовой прямой.
Графическое представление скаляра. Записывается в круглых скобках
Вектор из двух чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х и Y. Числа задают координаты вектора в пространстве — это такая инструкция, по которой нужно перемещаться от хвоста к стрелке вектора. Первое число показывает расстояние, которое нужно пройти вдоль оси Х; второе — расстояние по оси Y. Положительные числа на оси Х обозначают движение вправо; отрицательные — влево. Положительные числа на оси Y — идём вверх; отрицательные — вниз.
Представим вектор с числами −5 и 4. Для поиска нужной точки нам необходимо пройти влево пять шагов по оси Х, а затем подняться на четыре этажа по оси Y.
Графическое представление числового вектора в двух измерениях
Вектор из трёх чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х, Y и Z. Ось Z проводится перпендикулярно осям Х и У — это трёхмерное измерение, где вектор с упорядоченным триплетом чисел: первые два числа указывают на движение по осям Х и У, третье — куда нужно двигаться вдоль оси Z. Каждый триплет создаёт уникальный вектор в пространстве, а у каждого вектора есть только один триплет.
Если вектор состоит из четырёх и более чисел, то в теории он строится по похожему принципу: вы берёте координаты, строите N-мерное пространство и находите нужную точку. Это сложно представить и для обучения не понадобится.
Графическое представление числового вектора в трёх измерениях. Для примера мы взяли координаты −5, 2, 4
Помните, что все эти записи и изображения с точки зрения алгебры не имеют отношения к нашему реальному трёхмерному пространству. Вектор — это просто какое-то количество абстрактных чисел, собранных в строгом порядке. Вектору неважно, сколько там чисел и как их изображают люди. Мы же их изображаем просто для наглядности и удобства.
Например, в векторе спокойно может быть 99 координат. Для его изображения нам понадобилось бы 99 измерений, что очень проблематично на бумаге. Но с точки зрения вектора это не проблема: перемножать и складывать векторы из двух координат можно так же, как и векторы из 9999999 координат, принципы те же.
Вектор — это «кирпичик», из которого строится дата-сайенс и машинное обучение. Например:
На основании векторов получаются матрицы. Если вектор — это как бы линия, то матрица — это как бы плоскость или таблица.
Машинное обучение в своей основе — это перемножение матриц. У тебя есть матрица с данными, которые машина знает сейчас; и тебе нужно эту матрицу «дообучить». Ты умножаешь существующую матрицу на какую-то другую матрицу и получаешь новую матрицу. Делаешь так много раз по определённым законам, и у тебя обученная модель, которую на бытовом языке называют искусственным интеллектом.
Кроме того, векторы используются в компьютерной графике, работе со звуком, инженерном и просто любом вычислительном софте.
И давайте помнить, что вектор — это не какая-то сложная абстрактная штука, а просто сумка, в которой лежат числа в определённом порядке. То, что мы называем это вектором, — просто нюанс терминологии.
Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Что дальше
В следующий раз разберём операции с векторами. Пока мы готовим материал — рекомендуем почитать интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия ведёт ютуб-канал по дата-сайнс и работает сеньором дата-сайентистом в Росбанке.
📸 Видео
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Физическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве
Аналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа
Математическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график
Векторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат
Способы записи вектора
Графическое представление скаляра. Записывается в круглых скобках
Графическое представление числового вектора в двух измерениях
Графическое представление числового вектора в трёх измерениях. Для примера мы взяли координаты −5, 2, 4
