Формулы площадей различных четырехугольников реферат 9 класс

Формулы для площадей четырехугольников

Вывод формул для площадей четырехугольников

Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab
Параллелограмм
Квадрат		S = a 2
		S = 4r 2
Ромб
Трапеция
		S = m h
Дельтоид		S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Информация к проектно-исследовательской работе по теме: «Формулы площадей различных четырехугольников»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Невыпуклый выпуклый самопересекающийся

описанная окружность трапеция касательный

равнобедренная трапеция параллелограмм выпуклый ромб

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно параллельны;

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;

Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Выпуклый и невыпуклый четырёхугольники.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через любые две его смежные вершины. В противном случае четырёхугольник называется невыпуклым. Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внутри него и пересекаются. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а другая внутри него, и эти диагонали не пересекаются.

Можно найти площадь четырехугольника по этой формуле по диагоналям.

1.3. Основные формулы площадей.

Через диагонали и угол между ними.

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

d1, d2 — диагонали; α — угол между диагоналями

Через стороны и противолежащие углы.

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

p — полупериметр четырехугольника; a, b, c, d — стороны четырехугольника; α, β — противолежащие углы.

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

S = pr

p — полупериметр четырехугольника; r — радиус вписанной окружности; a, b, c, d — стороны четырехугольника.

Формула площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — Площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмм

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

где S — Площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d ₁ , d ₂ — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — Площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d ₁ , d ₂ — длины диагоналей.

Формула Герона для трапеции

√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )

Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

где S — Площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

где S — площадь четырехугольника,
d ₁ , d ₂ — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.

Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

S = √( p — a )( p — b )( p — c )( p — d ) — abcd cos 2 θ

где S — площадь четырехугольника,
a , b , c , d — длины сторон четырехугольника,

— полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

S = √( p — a )( p — b )( p — c )( p — d )

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 966 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 339 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Смирнова Нина ФедоровнаНаписать 3481 09.03.2018

Номер материала: ДБ-1299143

09.03.2018 211

09.03.2018 204

09.03.2018 556

09.03.2018 762

09.03.2018 1326

09.03.2018 1678

09.03.2018 372

09.03.2018 560

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Виды четырёхугольников и основные формулы для вычисления их площадей
материал по геометрии (8 класс) по теме

Данный наглядный материал может быть использован для повторения геометрии в конце учебного года при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Скачать:

Вложение	Размер
4ugolniki.doc	73 КБ

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые ( как ABCD) и
невыпуклые (A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

1. противолежащие стороны равны;
2. противоположные углы равны;
3. диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
5. сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2 ).

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

1. ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
2. если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
3. если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
4. если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые.

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.

1. Ромбом называется параллелограмм , у которого все стороны равны.
2. Свойства ромба
3. все свойства параллелограмма ;
4. диагонали перпендикулярны;
5. диагонали являются биссектрисами его углов.

1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.

1. Его диагонали перпендикулярны.
2. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадратом называется прямоугольник , у которого все стороны равны.

1. все углы квадрата прямые;
2. диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба .

1. Параллелограмм
   a и b — смежные стороны; — угол между ними; h a — высота, проведенная к стороне a .

1. Трапеция
   a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия .

📺 Видео