Какому условию должны удовлетворять векторы a и b чтобы вектор a b

§ 31. Скалярное произведение векторов

§ 31. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное про­изведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а, b обозначается символом аb (по­рядок записи сомножителей безразличен, т. е. аb = bа).

Если угол между векторами а, b обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой . (1)

Скалярное произведение векторов а, b можно выразить также формулой

, или

Из формулы (1) следует, что ab > 0, если — острый угол, ab

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > , условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4
2 n — 4 = 0
2 n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Какому условию должны удовлетворять векторы a и b чтобы вектор a b

12. Даны векторы a = i — 3j + 5k, b = 2i + j + 4k, с = j — k. Найти вектор . если .

13. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: а) p = 4i + 4j, с = —2i + j; б) p = 3i — 2j + k, с = 3i + 5j + 2k.

14. Найти длину медианы AM и высоты AD в треугольнике ABC, если известно, что AB = 5i + 2j , BC = 2i — 4j.

15. Найти длину высоты CD в треугольнике, вершины которого находятся в точках A(2, 7), B(5, 3), C(6, 8).

16. Найти смешанное произведение векторов a = (7, 0, 1), b = (—2, 4, 4), с = (1, 5, 1).

17. Будут ли компланарны векторы .

18. Вычислить объём пирамиды, вершины которой находятся в точках A(1, 1, 1), B(4, 2, —1), C(—3, 1, 4), D(2, 6, 0).

19. Найти высоту AK треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках A(4, —2, 7), B(1, —1, 6), C(7, 7, 1), D(3, 0, 4).

4.8. Образец теста (для дистанционной формы обучения)

1. Какому условию должны удовлетворять векторы a, b, чтобы .

Указать номер правильного ответа: 1) |a| = |b|; 2) a, b перпендикулярны; 3) a || b; 4) только если a, b нулевые.

2. Найти cos α + cos γ, где α и γ — углы, образованные вектором 8i + 4с + k с осями OX, OZ.

3. Найти скалярное произведение векторов a + b и 2a, если . угол между векторами a, b равен π/3.

4. Найти проекцию на ось OY вектора AB, если его начало и конец находятся в точках A(4, —2 ,1), B(7 ,1, 3).

5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .