25 задача огэ треугольник (5 видео) | Курс школьной геометрии

Задание №25 ОГЭ по математике

Решаем сложную геометрическую задачу.

Содержание

25 задача огэ треугольник
Задание 25 ОГЭ. Треугольники и их элементы.
Краткое описание документа:
🎥 Видео

Алгоритм решения:

Делаем чертеж.
Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС.
Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ.
Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны.
Составляем соотношения сторон подобных треугольников.
Составляем систему равенств.
Решаем систему.
Записываем ответ.

Решение:

2. Рассматриваем АСD. В нем:

Согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА. Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD. 3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

Следовательно, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

Ответ: 10

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения:

Сделаем чертеж.
Определим равенство углов CDB и АВС.
Определим соотношение отрезков, воспользовавшись свойством биссектрисы угла треугольника, и определим длину АВ.
Покажем, что треугольники DAC и DCB подобны.
Составим соотношения сторон подобных треугольников.
Составим систему равенств.
Решим систему.
Запишем ответ.

Решение:

2. Рассмотрим АСD. В нем, согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ⇒∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА. Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD. 3. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, согласно которому она делит АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,

4. Рассмотрим DAC и DCB. У них:

∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,

Значит, DAC DCB по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

Так как AD = DB-21, имеем:

Таким образом, искомая длина CD=36.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения:

Сделаем чертеж.
Установим подобие треугольников AFM и ANF.
Определим сторону FM.
Определим ∠FNA.
Найдем .
Составим теорему синусов и найдем радиус окружности.
Запишем ответ.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники AFM и ANF. У них:

Угол A является общим, а

по доказанному выше.

Следовательно, треугольник AFM подобен треугольнику ANF по двум углам. Отсюда вытекает:

3. В треугольнике AFM сторона AF=3, сторона AM=9. Воспользуемся теоремой косинусов для определения FM:

Полученное значение означает, что AFM является равнобедренным. У него основание AF. 4. По свойству равнобедренного треугольника ∠FAM=∠AFM. Отсюда 5. Найдем Значит, 6. Из FMN по теореме синусов: где R – радиус описанной окружности. Отсюда получим значение радиуса окружности: Ответ: 5,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

Точка касания M окружностей делит AC пополам по условию.

Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, так как касательные к окружностям равноудалены от центра. Так как AQ и AO — биссектрисы смежных углов, то угол OAQ прямой — смежные углы в сумме дают 180°, значит сумма их биссектрис:

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник OAQ. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, получаем:

AM² = MQ•MO Отсюда:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:Геометрия Задача № 25 ОГЭ 2021Скачать

25 задача огэ треугольник

На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Так как по условию то треугольник BDE является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и треугольник ABC —равнобедренный.

Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Рассмотрим треугольники и AEB, углы AEB и равны как вертикальные, из предыдущей пропорции следовательно, эти треугольники подобны, откуда

Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.

Видео:Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать

Задание 25 ОГЭ. Треугольники и их элементы.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ.

(103; 315022) На стороне треугольника выбраны точки и так, что отрезки и равны. Оказалось, что отрезки и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

Решение. Треугольник будет равнобедренным, если у него или , поэтому необходимо доказать равенство и .

Рассмотрим сначала – равнобедренный по свойству равнобедренного треугольника. Тогда – по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны).

Рассмотрим и по I признаку равенства треугольников, следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, а конкретно, и . Значит, равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника, ч.т.д.

(340341, 341688) Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке . Докажите, что углы и равны.

Решение. Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников, следовательно, стороны у этих треугольников пропорциональны, т.е. . Используем следующее свойство пропорции: в верной пропорции, все члены которой отличны от нуля, можно менять местами её крайние и средние члены. Поменяем местами средние члены пропорции, получим: .

по II признаку подобия треугольников. Значит, по определению подобных треугольников, все соответствующие углы этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

( 340854, 340243 ) В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA ₁ и BB ₁ . Докажите, что треугольники A ₁ CB ₁ и ACB подобны.

Решение. Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников, следовательно, все соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, т.е. . Используя свойство пропорции, поменяем местами средние члены пропорции:

по II признаку подобия треугольников, ч.т.д.

(340880) В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Решение. Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников, следовательно все соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, т.е. . По свойству пропорции: .

по II признаку подобия треугольников , а значит, и , ч.т.д.

(340906) Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D , причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD . Докажите, что CD ⊥ EF .

Решение. Рассмотрим и

по III признаку равенства треугольников, значит, по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны).

– равнобедренный (), в этом треугольнике является биссектрисой т.к. , значит, по свойству равнобедренного треугольника, является и медианой, и высотой. По определению высоты , ч.т.д.

( 129; 314856 ) В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Решение. Треугольник равносторонний, значит, . – средние линии треугольника (т.к. они соединяют середины двух сторон). По свойству средней линии треугольника . Правые части у этих равенств равны, значит, равны и левые части, т.е. . В все три стороны равны, значит, он равносторонний, ч.т.д.

(311561) На стороне треугольника отмечены точки и так, что . Докажите, что если , то .

Решение. В этой задаче рисунок не прилагается, поэтому расположение точек и может быть в двух вариантах. Рассмотрим каждый из них.

I . Пусть точка лежит между точками и , как показано на рисунке. Тогда равнобедренный, следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, . Значит, и по свойству смежных углов. по I признаку равенства треугольников , следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

II . Пусть точка лежит между точками и , как показано на рисунке. Тогда, докажем равенство отрезков и

Тогда равнобедренный, следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, . Значит, и по свойству смежных углов. по I признаку равенства треугольников , следовательно, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

(311567) На медиане треугольника отмечена точка . Докажите, что если , то .

Решение. Т.к. , то – равнобедренный, в нём является медианой, следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, она является и биссектрисой, и высотой. Значит, и, очевидно, . В является и медианой, и высотой, значит, этот треугольник равнобедренный, т.е. ч.т.д.

(311602) Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

Решение. – равнобедренный, значит, (по свойству равнобедренного треугольника).

и – биссектрисы углов и соответственно, поэтому, и . Т.к. , то

по II признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы и стороны этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

(311605) Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны.

Решение. Рассмотрим и

по I признаку равенства треугольников, значит, , ч.т.д.

(311606) Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

как стороны равных прямоугольников.

. Используя формулу приведения , получаем, что . Значит,

(311665) Докажите, что у равных треугольников ABC и A ₁ B ₁ C ₁ биссектрисы, проведённые из вершин A и A ₁ , равны.

Решение. Т.к. треугольники равны, то все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. . Т.к. и – биссектрисы равных углов и , то они делят углы на равные части, т.е.

по II признаку равенства треугольников, следовательно, , ч.т.д.

(311669) В треугольнике угол равен 36°, , — биссектриса. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

Решение. Т.к. – равнобедренный, то . Значит,

Т.к. — биссектриса , то . Значит, , поэтому – равнобедренный, ч.т.д.

(311969) Окружность касается стороны треугольника , у которого и продолжений его сторон и за точки и соответственно. Докажите, что периметр треугольника равен диаметру этой окружности.

Решение. Продолжения сторон и касаются окружности в точках и соответственно, сторона касается окружности в точке . По свойству касательных, они составляют с радиусом, проведённым в точку касания, прямой угол. Значит, . Тогда четырёхугольник является квадратом (). По свойству отрезков касательных, пересекающихся в одной точке, и . Значит, . Запишем формулу периметра треугольника

. Итак, периметр треугольника равен диаметру окружности, касающейся стороны и продолжения сторон и , ч.т.д.

(315085) На стороне треугольника выбраны точки и так, что отрезки и равны (см. рисунок). Оказалось, что углы и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

Решение. Т.к. , то по свойству смежных углов (если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны). Тогда – равнобедренный, следовательно, .

по I признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны, т.е. и – равнобедренный, ч.т.д.

(316334) В остроугольном треугольнике угол равен 60° . Докажите, что точки центр описанной окружности треугольника и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной окружности.

Решение. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника – точка , – радиусы этой окружности. Значит, – вписанный в эту окружность, а – центральный угол этой окружности. По свойству вписанных в окружность углов, .

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис углов треугольника – точка , – биссектрисы углов и , значит, и . По сумме углов треугольника, . Из треугольника по сумме углов треугольника . Значит, . Итак, . Значит, равные углы опираются на одну и ту же хорду , поэтому они являются вписанными, т.е. точки лежат на одной окружности, ч.т.д.

(333348; 349266) Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность и что продолжения сторон и четырёхугольника пересекаются в точке . Докажите, что треугольники и подобны.

Решение. Т.к. окружность описана около четырёхугольника , то – как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу ; – как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу . – смежный с , значит, по свойству смежных углов, (из по сумме углов треугольника).

по I признаку подобия треугольников, ч.т.д.

(339384) Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Т.к. – медиана треугольника, то она делит сторону пополам, т.е. . – по свойству смежных углов. Тогда по формуле приведения . Сторона – общая. Значит, , ч.т.д.

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

( 357100 ) В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA ₁ и CC ₁ . Докажите, что треугольники A ₁ BC ₁ и ABC подобны.

( 357101, 350829 ) В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB ₁ и CC ₁ . Докажите, что треугольники AB ₁ C ₁ и ABC подобны.

( 315008 ) В равнобедренном треугольнике ABC ( АВ = ВС ) точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равнобедренный.

( 315030 ) В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.

( 315051 ) В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что АMNK — ромб.

( 311773 ) В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C , центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

( 316244; 311829 ) В остроугольном треугольнике ABC точки A , C , центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

( 311861; 316271 ) В остроугольном треугольнике ABC , точки A , C , центр описанной окружности O и точка пересечения высот H лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

( 316297 ) В остроугольном треугольнике ABC точки A , C , точка пересечения высот H и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°

( 315062 ) На стороне треугольника выбраны точки и так, что углы и равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

( 315119 ) На стороне треугольника выбраны точки и так, что отрезки и равны (см. рисунок). Оказалось, что углы и тоже равны. Докажите, что треугольник — равнобедренный.

( 357060 ) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA ₁ и BB ₁ . Докажите, что углы AA ₁ B ₁ и ABB ₁ равны.

( 351134 ) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA ₁ и BB ₁ . Докажите, что углы BAA ₁ и BB ₁ A ₁ равны.

( 353001 ) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB ₁ и CC ₁ . Докажите, что углы CC ₁ B и CBB ₁ равны.

Краткое описание документа:

Задание 25 ОГЭ — это геометрические задачи на доказательство. Эти задачи представлены в трёх главах: Треугольники и их элементы; Четырёхугольники и их элементы; Окружности и их элементы. В данной разработке приведены всевозможные задачи из первой главы с распределением по подобным заданиям и решением одной из таких задач. Остальные задачи предложены для самостоятельного решения.