Окружность радиуса 1 касается двух катетов прямоугольного треугольника (7 видео)

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Содержание

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн
1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол
3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
Узнать ещё
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
🔥 Видео

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Геометрия Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольникаСкачать

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Окружность радиуса 1 касается двух катетов прямоугольного треугольника

Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):

( small r= frac, )

(1)

( small p= frac. )

(2)

Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:

( small S= large frac small cdot a cdot b. )

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

( small r= large frac<fracab><frac(a+b+c)> ) ( small = large frac, )

(4)

( small c= sqrt. )

(5)

Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на ( small a+b-c ):

( small r= frac ) ( small = frac ) ( small = frac )

(6)

Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:

( small r= frac ) ( small = frac .)

Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:

( small r= frac ,)

(7)

где c вычисляется из (5).

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):

Подставим значения ( small a=17, ; b=5; c=17.720045 ) в (7):

Ответ:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

( small frac=frac .)

Учитывая, что ( small alpha=90°-beta ) и ( small sin (90°-beta)=cos beta ), получим:

( small frac=frac ) ( small =frac=frac .)

(8)

Тогда из (8) получим:

( small b=frac. )

(9)

Далее, из теоремы синусов:

( small frac=frac ) ( small =frac=frac .)

( small c=frac .)

(10)

Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения ( small b ) и ( small c ) из (9) и (10) в (7):

(11)

Пример 2. Известны катет ( small a=21 ) и прилежащий к нему угол ( small beta=30° ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=21 ) ( small beta=30° ) в (11):

Ответ:

Видео:Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать

3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha; ) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:

( small alpha+beta=90°) ( small beta=90°-alpha )

Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:

(12)

Пример 3. Известны катет ( small a=6 ) прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha=53°. ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение ( small a=6, ; alpha=53° ) в (12):

Ответ:

Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Геометрия. Задача. Окружности. Касательные. Радиус.Скачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,