Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.
а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда
(*), причём:
Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:
Тогда 
Ответ: б) 
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Окружность построенная на медиане bm равнобедренного
Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.
а) Проведём медиану AE к основанию BC, поскольку треугольник ABC — равнобедренный, медиана AE является биссектрисой и высотой. Проведём MK, заметим, что ∠BKM = 90°, так как он вписанный и опирается на диаметр окружности. Поэтому MK перпендикуляр к ВС. Тогда MK — средняя линия AEС, и тогда КС = EК. Поскольку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что ∠BKM = ∠BNM = 90°, так как эти углы вписанные и опираются на диаметр. Тогда (*), причём:
Подставляя полученные соотношения в (*), получаем:
Тогда 
Приведём другое решение пункта б).
Пусть 
Тогда 
и пусть 
тогда 
По свойству секущих имеем:
Приведём третье решение пункта б).
Пусть угол при вершине A треугольника ABC равен 2α, AB = x. Тогда из прямоугольного треугольника ANM находим: 
Из треугольника MKC: 
таким образом, получаем уравнение:
Из последнего уравнения получаем те же ответы, что и в предыдущем решении x = 16 (постороннее решение) или x = 18.
Приведём еще одно решение пункта б).
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Если AB = x, то 
С другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем 
Составим уравнение: 
Последнее уравнение уже дважды решено выше.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:11.49.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать  Окружность построенная на медиане bm равнобедренного§ 23. Метод геометрических мест точек в задачах на построение Известно, что если смешать синий и жёлтый цвета, то получим зелёный. Пусть на плоскости надо найти точки, обладающие какими-то двумя свойствами одновременно. Если синим цветом покрасить точки, обладающие первым свойством, а жёлтым — обладающие вторым свойством, то понятно, что зелёные точки будут обладать сразу двумя свойствами. В этом и состоит идея метода ГМТ, которую проиллюстрируем следующими задачами. Задача 1. Постройте треугольник по трём данным его сторонам.
Решение. Пусть даны три отрезка, длины которых равны a , b , c (рис. 327). Надо построить треугольник ABC , в котором AB = c , AC = b , BC = a . Проведём произвольную прямую. С помощью циркуля отложим на ней отрезок CB , равный a (рис. 328). Понятно, что задача свелась к построению третьей вершины треугольника, точки A . Воспользуемся тем, что точка A обладает сразу двумя свойствами:
1) принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точки B на расстояние c , т. е. окружности с центром в точке B радиуса с (см. рис. 328); 2) принадлежит геометрическому месту точек, равноудалённых от точки C на расстояние b , т. е. окружности с центром в точке С радиуса b (см. рис. 328). В качестве точки A можно выбрать любую из двух образовавшихся зелёных точек. Полученный треугольник ABC является искомым, так как в нём AB = c , AC = b , BC = a . Из описанного построения следует, что если каждый из трёх данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.
Задача 2. Постройте фигуру, все точки которой принадлежат данному углу, равноудалены от его сторон и находятся на заданном расстоянии a от его вершины. Решение. Искомые точки принадлежат сразу двум геометрическим местам точек: биссектрисе данного угла и окружности с центром в его вершине и радиусом, равным a . Построим биссектрису угла и указанную окружность (рис. 329). Их пересечением является искомая точка X . Задача 3. Постройте центр окружности радиуса R , проходящей через данную точку M и касающуюся данной прямой a . Решение. Поскольку окружность касается прямой a , то её центр находится на расстоянии R от этой прямой. Геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на данное расстояние, являются две параллельные прямые (см. упражнение 498). Следовательно, центр окружности находится на прямой b или на прямой с (рис. 330).
Геометрическое место точек, являющихся центрами окружностей радиуса R , проходящих через точку M , — это окружность данного радиуса с центром в точке M . Поэтому в качестве центра искомой окружности можно выбрать любую из точек пересечения окружности с одной из прямых b или с (рис. 331). Построение для случая, когда данная точка принадлежит данной прямой, рассмотрите самостоятельно. Задача 4. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
Решение. Построим окружность данного радиуса и проведём хорду AB , равную стороне искомого треугольника. Тогда концы хорды являются двумя вершинами искомого треугольника. Понятно, что третья вершина принадлежит одновременно построенной окружности и окружности с центром в точке O , являющейся серединой хорды AB , и радиусом, равным данной медиане. Каждый из треугольников ABС 1 и ABС 2 (рис. 332) является искомым. Поскольку эти треугольники равны, то задача имеет единственное решение.
622. Даны прямая m и точки A и B вне её (рис. 333). Постройте на прямой m точку, равноудалённую от точек A и B . 623. Точки A и B принадлежат прямой m . Постройте точку, удалённую от прямой m на расстояние a и равноудалённую от точек A и B . Сколько решений имеет задача? 624. Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A , причём АВ ≠ АС . Постройте точку M , принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что MB = MC . 625. Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A . Постройте точку D , принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что DC = BC . Сколько решений может иметь задача? 626. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. 627. Для данной окружности постройте точку, являющуюся её центром. 628. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, центр которой принадлежит данной прямой. 629. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. 630. Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача? 631. Даны две пересекающиеся прямые m и n и отрезок AB . Постройте на прямой m точку, удалённую от прямой n на расстояние AB . Сколько решений имеет задача? 632. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°. На катете AC постройте точку D , удалённую от прямой AB на расстояние CD . 633. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача? 634. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из данных сторон. 635. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне. 636. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача? 637. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача? 638. Между двумя параллельными прямыми дана точка. Постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых. Сколько решений имеет задача? 639. Постройте окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся данной прямой m в данной точке B . 640. Даны две параллельные прямые и секущая. Постройте окружность, касающуюся этих трёх прямых. 641. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача? 642. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача? 643. Постройте равносторонний треугольник по радиусу описанной окружности. 644. Три прямые попарно пересекаются и не проходят через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от всех трёх прямых. Сколько решений имеет задача? 645. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета. 646. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов. 647. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности катетов. 648. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности гипотенузы и другого катета. 649. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и разности боковой стороны и высоты, опущенной на основание. 650. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон. 651. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон. 652. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и разности двух других сторон. 653. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и сумме двух других сторон. 654. Постройте треугольник по стороне, разности углов, прилежащих к этой стороне, и сумме двух других сторон. 655. Постройте треугольник по периметру и двум углам. 656. Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла. 657. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности. 658. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне. 659. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон. Упражнения для повторения
660. На рисунке 334 ∠ A = 46°, ∠ ACB = 68°, ∠ DEC = 120°. Найдите углы треугольников EFC и DBE . 661. Через середину O стороны MK треугольника MKN провели прямую, перпендикулярную стороне MK и пересекающую сторону MN в точке C . Известно, что MC = KN , ∠ N = 50°. Найдите угол MCO . 662. В треугольнике ABC из вершины прямого угла C провели высоту CH и биссектрису CM . Длина отрезка HM в 2 раза меньше длины отрезка CM . Найдите острые углы треугольника ABC . 663. На рисунке 335 BD = DC , DN ⊥ BC , ∠ BDM = ∠ MDA . Найдите сумму углов MBN и BMD . Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте 664. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 336, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.
Когда сделаны уроки Из истории геометрических построений Умение достигать результат, используя минимальные средства, всегда считалось признаком высокого мастерства. Видимо, поэтому в Древней Греции в значительной степени было развито искусство выполнять геометрические построения с помощью только двух инструментов: дощечки с ровным краем (линейки) и двух заострённых палочек, связанных на одном конце (циркуля). Такое ограничение в выборе инструментов историки связывают с древнегреческой традицией, считавшей прямую и окружность самыми гармоничными фигурами. Так, в своей книге «Начала» великий учёный Евклид описывал построения геометрических фигур, при которых использовались лишь циркуль и линейка. Существует много задач на построение. С некоторыми из них вы уже успели познакомиться. Однако есть три задачи на построение, которые сыграли в развитии математики особую роль. Эти задачи стали знаменитыми. Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Задача о трисекции угла (от латинских tria — «три» и section — «разрезание») . Разделить угол на три равные части. Задача об удвоении куба. Построить куб, объём которого в 2 раза больше объёма данного куба. Эти задачи занимали умы людей на протяжении тысячелетий. Их пытались решить и такие выдающиеся учёные древности, как Гиппократ Хиосский, Евдокс Книдский, Евклид, Эратосфен, Аполлоний Пергский, Герон, Папп, Платон, Архимед, и гении Нового времени Рене Декарт, Франсуа Виет, Исаак Ньютон. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, т. е. невозможность выполнить указанные построения с использованием лишь циркуля и линейки. Этот результат был получен средствами не геометрии, а алгебры, благодаря переводу этих задач на язык уравнений. Когда вы решали задачи на построение, особенно те, которые отмечены знаком В ХХ веке была обнаружена книга датского учёного Георга Мора (1640–1697), в которой он также описал построения одним циркулем. Поэтому сформулированную выше теорему называют теоремой Мора — Маскерони. 🌟 Видео7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать  Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать  Задача 16. (Планиметрия) Математика профильСкачать  Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать  Планиметрия_Треугольник_02Скачать  Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметреСкачать  7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать  Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать  На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружностьСкачать  🤠 Техас: выстрел АВРОРЫ! Шатун Штатов. Бортник: Три месяца Газы. Фронт горит! Броня ТЦК. Запрет УПЦСкачать  Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать  7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать  Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать  Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать  2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать  ✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать  Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать  Геометрия К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 смСкачать  |
, вы, по-видимому, испытали сложности, связанные с ограниченностью набора инструментов. Поэтому предложение ещё больше сузить возможности применяемых приборов может показаться вам по меньшей мере неожиданным. Однако ещё в Х веке персидский математик Мохаммед Абу-ль-Вефа описал решение целого ряда задач на построение с помощью линейки и циркуля, раствор которого нельзя было менять. Совсем удивительной является теорема, опубликованная в 1797 году итальянским математиком Лоренцо Маскерони (1750–1800): всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно проделать одним циркулем. При этом Маскерони обусловливал следующее: поскольку одним циркулем провести прямую нельзя, то прямая считается построенной, если построены какие-нибудь две её точки.