Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникГде всегда находится центр вписанной окружности в треугольник
Равнобедренный треугольникГде всегда находится центр вписанной окружности в треугольник
Равносторонний треугольникГде всегда находится центр вписанной окружности в треугольник
Прямоугольный треугольникГде всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Произвольный треугольник
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник
Равнобедренный треугольник
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник
Равносторонний треугольник
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник
Прямоугольный треугольник
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник
Произвольный треугольник
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник.

Равнобедренный треугольникГде всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Равносторонний треугольникГде всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникГде всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник– полупериметр (рис. 6).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Центр вписанной в треугольник окружности

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

окр. (O; r) — вписанная.

O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольникСоединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).

Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.

Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.

Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.

Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.

Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.

1) OM=OF=OK (как радиусы),

2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).

Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.

Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.

Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Где всегда находится центр вписанной окружности в треугольник

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Четырехугольник, вписанный в окружность

Окружность, вписанная в ромб

🎬 Видео

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Сможешь найти радиус вписанной окружности?Скачать

Сможешь найти радиус вписанной окружности?

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

35 Где лежит центр вписанной в треугольник окружностиСкачать

35 Где лежит центр вписанной в треугольник окружности

Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать

Вписанная окружность  в равностороннем треугольнике

Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математикаСкачать

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математика

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ
Поделиться или сохранить к себе: