Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

б) Заметим, что Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон авпоэтому Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Значит, Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Приведем другое решение пункта а)

Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, ее центр находится в точке O, а BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y. Поскольку точки M, K, N и L — точки касания, Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ави Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон авОпустим высоты BH и CQ:

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон авОкружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

тогда по теореме Пифагора Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон авПоскольку Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон авимеем Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон авоткуда Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Содержание
  1. Задача 16865 Окружность, вписанная в трапецию ABCD.
  2. Условие
  3. Решение
  4. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно?
  5. В трапецию вписана окружность?
  6. Точка E середина боковой стороны CDMA трапеции ABCD?
  7. 45 баллов?
  8. В трапеции АВСД углы при вершинах А и В прямые, а боковая сторона СД ровно вдвое длинее меньшего основания ВС?
  9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12?
  10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12?
  11. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 5 и 2?
  12. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12корень из 2см, а острый угол — 45°?
  13. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2см, а острый угол — 45°?
  14. В трапецию абсд вписана окружность с центром и?
  15. В трапецию вписана окружность, точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на два отрезка — 8 и 2?
  16. 💥 Видео

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Задача 16865 Окружность, вписанная в трапецию ABCD.

Условие

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон АВ и CD в точках М и N соответственно. Известно, что АМ=8МВ и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен sqrt(6)

Решение

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

а)
Пусть ВМ=х, тогда АМ=8х
СN=y, тогда DN=2y
По свойству касательной, проведенной к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Поэтому
ВМ=ВК=x
СN=CK=y
AM=AP=8x
DN=DP=2y

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов.
Биссектрисы АО и ВО делят углы А и В пополам, значит сумма острых углов треугольника АОВ равна 90 градусов.
Треугольник АОВ- прямоугольный.
Высота ОM прямоугольного треугольника АОВ есть среднее пропорциональное между отрезками АМ и ВМ.
ОM^2=AM*BM
OM=r
r^2=8x*x
r^2=8x^2
Аналогично, Δ СOD — прямоугольный и
ON^2=CN*ND
r^2=y*2y
r^2=2y^2

AD=AP+DP=8x+2y=8x+2*2x=12x
BC=BK+CK=x+y=x+2x=3x/(sqrt(x^2+r^2
AD=12x=4*(3x)=4BC

б)
r=sqrt(6)
Обозначим
∠ МОВ= ∠ ВОК= альфа
∠ KOC= ∠ CON= бета
sin альфа =MB/BO=x/sqrt(x^2+r^2)
cos альфа =MO/BO=r/sqrt(x^2+r^2)
sin бета=CN/CO=y/sqrt(y^2+r^2)
cos бета =ON/CO=r/sqrt(y^2+r^2)

sin( альфа + бета )=
=sin альфа*cos бета +cos альфа *sin бета =
=r*(x+y)/(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))

Треугольник MON — равнобедренный,
МО=ОN=r
∠ MON=2*( альфа + бета )
Высота ОF делит основание MN пополам и сторону MN пополам.
MF=(1/2)MN=OM*sin( альфа + бета )=
MN=2*r*r*(x+y)//(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))
Так как у=2х и r^2=6 и r^2=8x^2; r^2=2y^2, то
MN=
=2*r^2*((r/sqrt(8))+(r/sqrt(2)))/(r*sqrt((1/8)+1)*r*sqrt((1/2)+1))=
=(2*r*3/(2sqrt(2)))/(sqrt(9/8)*sqrt(3/2))=4

О т в е т. MN=4 Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно?

Геометрия | 5 — 9 классы

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно.

Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

Докажите, что AD = 4BC.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

А) Пусть окружность касается основанийBCиADв точкахKиLсоответственно, а ее центр находится в точкеO.

ЛучиAOиBOявляются биссектрисами угловBADиABCсоответственно, поэтому.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Так как касательные к окружности из одной точки равны, то :

BC + AD = 9MB + 3CN.

AD = 6MB + 3BC — BC или

AD = 8MB + 2CN = 6MB + 2BC.

Треугольники АВО и СОD — прямоугольные (так как боковая сторона трапеции видна из центра вписанной в нее окружности под углом 90° — свойство).

Высоты ОМ и ОN (равные радиусу) равны.

По свойству высоты из прямого угла имеем :

ОМ = (2√2) * МВ ; ОN = √2 * CN.

Тогда 6МВ = 2МВ + 4МВ = 2МВ + 2CN = 2ВС.

AD = 6MB + 2BC (доказано выше).

AD = 2BC + 2BC = = 4ВС, что и требовалось доказать.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. окружность проходит через точки C,DСкачать

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. окружность проходит через точки C,D

В трапецию вписана окружность?

В трапецию вписана окружность.

Найти периметр трапеции если ее боковые стороны равны 7см и 9см.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:Геометрия В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит черезСкачать

Геометрия В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через

Точка E середина боковой стороны CDMA трапеции ABCD?

Точка E середина боковой стороны CDMA трапеции ABCD.

Докажите что площадь треугольника ABE равна половине площади трапеции.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математикеСкачать

Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математике

45 баллов?

Основания AD и BC трапеции ABCD и боковая сторона AB равны соответственно 21, 7 и 12.

Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если сумма углов при основании трапеции равна 90 градусов.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

В трапеции АВСД углы при вершинах А и В прямые, а боковая сторона СД ровно вдвое длинее меньшего основания ВС?

В трапеции АВСД углы при вершинах А и В прямые, а боковая сторона СД ровно вдвое длинее меньшего основания ВС.

Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Построена окружность, которая касается большего основания АД, боковой стороны СД и вписанной окружности трапеции.

А) Прямая, проходящая через центр построенной окружности и центр окружности, вписанной в трапецию, пересекает сторону АВ в точке Р.

Докажите, что АР / ВР = АД / ВС.

Б) Найти радиус плстроенной окружности, если радиус вписанрой в трапецию окружности равен 1.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12?

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12.

Вписанная окружность касается боковых сторон в точках С и Е.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:ОГЭ по математике, задание 26, тренировочный вариант 1Скачать

ОГЭ по математике, задание 26, тренировочный вариант 1

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12?

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12.

Вписанная окружность касается боковых сторон в точках С и Е.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:№692. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и RСкачать

№692. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 5 и 2?

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 5 и 2.

Окружность, описанная около треугольника ABC, касается основания AD и боковой стороны CD.

Найти радиус окружности.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12корень из 2см, а острый угол — 45°?

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12корень из 2см, а острый угол — 45°.

Найдите площадь трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис Трушин

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2см, а острый угол — 45°?

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 12√2см, а острый угол — 45°.

Найдите площадь трапеции, если известно, что в нее можно ВПИСАТЬ окружность.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:Трапеция и окружность. 9 классСкачать

Трапеция и окружность. 9 класс

В трапецию абсд вписана окружность с центром и?

В трапецию абсд вписана окружность с центром и.

Найдите периметр трапеции если сумма растояний от точки и до середин боковых сторон равна 30.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Видео:14.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

14.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

В трапецию вписана окружность, точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на два отрезка — 8 и 2?

В трапецию вписана окружность, точка касания окружности с боковой стороной делит эту сторону на два отрезка — 8 и 2.

Найти высоту трапеции.

Вы зашли на страницу вопроса Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

1) 30, 30, 150, 150 градусов 2) 77, 77, 123, 123 градусов.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

1)угол B : 180 — (90 + 60) = 30 градусов. 2) катет АСлежит против угла в 30 градусов, значит равен половине гипотенузы АВ — — — > значит АВ = 6 3) катет СВ (по пифагору).

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

1. Секущая — это прямая, которая пересекает кривую в двух точках или прямая, которая пересекает две другие прямые. 2. Нет, не всегда. Чтобы треугольник существовал, сумма двух каждых сторон должна быть больше третьей стороны.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

2) рассмотрим труг — к BCD, BM = MC, CN = ND поэтому MNсредняя линия труг — ка BCD, поэтому MN II BD, т. Е. колинеарны, я канеш не математик, но эт решить могу.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Ответ : Объяснение : 1. Провести линию и построить к ней два перпендикуляра на расстоянии длины, отложить на них ширину и соединить . (перпендикуляр строится циркулем : от точки на прямой отложить два равных отрезка из ник построить окруж радиус вз..

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Я позволю себе выложить здесь оформленное решение задачи, которое дано в комментариях. Данное решение, на мой взгляд, заслуживает большего предпочтения.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

По свойству биссектрисы треугольника CD : CE = DF : FE = 2 : 1 ⇒ CE = 2CD CG — биссектриса ΔCHE и по тому же свойству CH : CE = HG : GE = 4 : 5 Получаем систему CH : CE = HG : GE = 4 : 5 CE = 2CD (CD + 3 / 2) : CE = 4 : 5 CE = 2CD 4CE = 5CD + 15 / 2 ..

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

2 + 4 = 6 сумма всех величин 90÷6 = 15 градусы на одну величину 2×15 = 30° первый угол 4×15 = 60° второй угол.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

А вот насчёт второй задачи есть вопросы? Там найти углов или сравнить т. К накрестлежащие , соответственные и вертикальные.

Окружность вписанная в трапецию авсд касается ее боковых сторон ав

Х + х + 5 = 50 2х + 5 = 50 2х = 50 — 5 = 45 х = 45 : 2.

💥 Видео

ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать

ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |

Планиметрия с окружностями | Задачи из ЕГЭ прошлых лет | №17 ЕГЭ по математикеСкачать

Планиметрия с окружностями | Задачи из ЕГЭ прошлых лет | №17 ЕГЭ по математике

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математика

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Окружность, вписанная в трапецию.A circle inscribed in a trapezoid.Скачать

Окружность, вписанная в трапецию.A circle inscribed in a trapezoid.
Поделиться или сохранить к себе: