Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве
Задачи к главе I
1.1. По данным векторам а и b постройте следующие векторы:
1.2. На рис. 66 окружность разделена на три, четыре или шесть конгруэнтных дуг. Найдите в каждом случае сумму изображенных на рисунках векторов.
1.3. Для векторов а, b, с, изображенных на рис. 67, найдите сумму а + b + с.
1.4. На материальную точку действуют две силы F1 и F2. Найдите величину их равнодействующей, если | F1 |=8H, | F2 | = 6Н и (F1; ^ F2) = 90°.
1.5. Начертите любой пятиугольник ABCDE и найдите сумму векторов AB > , BC > , CD > , DE > , EA > .
1.6. К центру правильного шестиугольника приложены три силы, направленные в три последовательные вершины. Найдите величину равнодействующей, если величина каждой из данных сил равна 1Н.
1.7. Найдите равнодействующую трех сил, приложенных в точке М, если известно, что эти силы изображаются векторами MA > , MB > , MC > где точки А, В, С являются вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окружность с центром О (рис. 68).
1.8. Докажите, что из медиан любого треугольника можно построить треугольник.
1.9. Дан тетраэдр ABCS. Найдите сумму векторов:
а) AB > + BC > + CS > ;
б) AC > + CS > + SA > + AB > .
1.10. Дана правильная четырехугольная пирамида ABCDS (S — вершина, О — основание высоты). Докажите, что сумма векторов OS > , DS > , BC > , SB > , AO > равна сумме векторов AS > , AD > , AB > , DA > .
1.15. На прямой взяты три точки А, В, С так, что CA > = 3 CB > Выразите вектор AB > через вектор CB > .
1.16. В прямоугольнике ABCD проведены диагонали: DB > = a ; AC > = b. Представьте векторы BC > , CB > , BD > , AD > + CD > в виде линейной комбинации векторов а и b.
1.17. В параллелограмме ABCD: AB > = a, AD > = b, О — точка пересечения диагоналей. Разложите векторы BO > , OB > , AC > и CO > по векторам а и b.
1.18. В равнобедренной трапеции ABCD величина угла BAD равна 60°,
|АВ | = | ВС | = | CD | = 2. Точки М и N — середины сторон ВС и DC. Разложите векторы AB > , CD > , BC > , AM > , AN > и MN > по векторам
1.19. На окружности с центром О даны точки А и В. Касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке С. Разложите вектор OC > по векторам OA > и OB > , если: а) = 60°; б) =90°.
1.21. Дан треугольник ABC. Взяв за базис векторы е1 = AB > , е2 = AC > , найдите координаты векторов AM > , BN > , CP > в этом базисе. Точки М, N, Р — середины сторон ВС, АС, АВ треугольника.
1.22. Дан правильный шестиугольник ABCDEF.
Взяв за базис вектеры е1 = AF > , е2 = AC > , найдите координаты следующих векторов: а) AB > ; б) BC > ; в) CD > ; г) DE > ; д) EF > ; е) AD > ; ж) AE > ; з) FC > ; и) DB > ; к) BE > .
1.23. На плоскости дан правильный шестиугольник. Разложите по ортам i и j все векторы, изображенные на рис. 69, если | OE > | = 4.
1.24. В кубе ABCDA1B1C1D1 (рис. 70) точки М, N, Р, Q, R, S, T — середины ребер.
1.25 В прямоугольной декартовой системе координат даны точки
А (3; — 1; 2) и В (—1; 2; 2). Найдите координаты векторов AB > и BA > , их длины и координаты единичного вектора, направленного так же, как и вектор BA > .
1.26. Дан вектор а = 2i — 3j + 4k. Найдите вектор b, если | а | = | b |, абсцисса вектора b равна ординате вектора а, а ордината вектора b равна нулю.
1.27. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
а = i + j и b = k — 2j.
1.28. Найдите проекцию вектора а на направление вектора b и проекцию вектора b на направление вектора а, если | а | = 2, | b | = 1, (a; ^ b) = 120°.
1.29. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если | а | = 4, | b |= 6 и (a; ^ b) равен: а) 45°; б) 0°; в) 135°; г) 90°; д) 180°.
1.34. Дан вектор a = (3; —4). Найдите координаты единичных векторов, перпендикулярных вектору а.
1.35. Дан вектор с = (4; —7). Найдите координаты какого-либо вектора, перпендикулярного вектору с. Сколько решений имеет задача?
1.36. Дан вектор а = (1; 2; —3). Известно, что абсцисса перпендикулярного ему вектора b равна 3, а ордината равна 6; требуется найти аппликату вектора b.
1.37. Дан вектор a = (3; —4). Известно, что абсцисса перпендикулярного ему вектора b равна 8; определите ординату вектора b.
1.38. Дан вектор a = (5; 3). Известно, что ордината перпендикулярного ему вектора b равна 10; определите абсциссу вектора b.
1.39. Найдите значение α, при котором следующие векторы взаимно перпендикулярны:
1.40. Найдите значения α и β, при которых векторы а = (3; —1; α) и
b = (2; β; 1) взаимно перпендикулярны, если | b | = 3.
1.42. Даны два вектора: а = (3; — 1; 5) и b = (1; 2; — 3). Найдите вектор х, перпендикулярный оси Оz и удовлетворяющий условиям x • a = 9, x • b = —4.
1.43. Найдите вектор b, коллинеарный вектору а и удовлетворяющий данному условию:
1.44. Найдите вектор b, длина которого равна 50, коллинеарный вектору а и образующий острый угол с заданной осью:
1.45. Даны три вектора: а = (2; —1; 3), b = (1; —3; 2), с = (3; 2; —4). Найдите вектор х, удовлетворяющий условиям x • a = —5, x • b = —11, x • c = 20.
1.46. Найдите косинус угла между вектором а = (3; —4) и осью Ох.
1.47. Найдите косинусы углов между вектором а = (3; —4; 12) и осями координат.
1.48. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а = 2i + j и b = — j + 2k.
1.49. Определите угол между вектором а = AB > + CD > и осью абсцисс, если
А (—2; 3), В (0; 8), С (5; 3) и D (10; 5).
1.51. В треугольнике с вершинами A (5; 0; 0), В (1; 1; 1) и С (3; — 1; 2) найдите величины углов.
1.62. Даны три последовательные вершины параллелограмма:
А (—3; —2; 0), В (3; —3; 1) и С (5; 0; 2). Найдите четвертую вершину D и угол между векторами AC > и BD > .
1.83. Дан треугольник с вершинами в точках А (3; —2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Вычислите угол между медианой [BD] и стороной [АС].
1.54. Дан четырехугольник с вершинами в точках А (2; —3; 1), В (1; 4; 0), С (—4; 1; 1) и D (— 5; —5; 3). Найдите угол между диагоналями [АС] и [BD] .
1.55. Дан треугольник с вершинами в точках А (—1; 4; 1), В (3; 4; —2) и С (5; 2; —1). Вычислите косинус угла при вершине В.
1.57. Выясните, правой или левой является тройка векторов а, b, с, если:
1.58. Найдите вектор [а; b] и изобразите его, если:
1.59. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (3; 4) и b = (4; — 3).
1.61. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках А (0; 2; 6), В (4; 0; 0) и С (8; —2; 0).
1.62. Даны вершины параллелограмма: А (1; —2), В (—2; 2), С (4; 10) и D (7; 6). Вычислите его площадь и высоты.
1.63. Сила F = 2i — 3j + 4k приложена к точке M (1; 5; —2). Найдите величину момента силы F относительно начала координат.
1.68. Покажите, что объем параллелепипеда, построеннного на диагоналях граней данного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
1.69. Найдите смешанное произведение (а; b; с) векторов а = (0; 3; —1), b =(5; 0; 0),
с = (7; —2; 4).
1.70. Установите, компланарны ли векторы а = (8; 5; —13), b = (— 4; 2; 8),
с = (4; 7; —4); если векторы некомпланарны, то какую они образуют тройку правую или левую.
1.72. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах
а = (1; 2; 3), b = (— 1; 3; 4), с = (2; 5; 2).
1.73. Центр тяжести однородного стержня находится в точке М (2; —4), один из его концов в точке A (—1; 1). Найдите координаты другого конца стержня.
1.74. Дан треугольник с вершинами в точках A (2; —5), В (1; —2) ; и С (4; 7). Найдите точку пересечения биссектрисы / B со сторoной AС.
1.75. Докажите, что если в правильной треугольной пирамиде SABC вершину А соединить с точкой М пересечения медиан противолежащей грани, то (AM)_|_.(BC).
1.76. В треугольнике ABC точки A1, В1 и C1 — середины сторон ВС, АС, АВ, Докажите, что у треугольников ABC и A1B1C1 точки пересечения медиан совпадают.
1.77. Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжений ее боковых сторон принадлежат одной нрямой.
1.78. Точки М и N — середины сторон АВ и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что середины диагоналей четырехугольников AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой.
1.79. Вычислите работу, совершаемую равнодействующей двух сил F1 (5; — 1; 3) и F2 (—3; —2; 4) при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В (10; 8; —2) в положение С (9; 4; 1).
1.80. Сила F = 3i + k приложена к точке A (2; 1; 4). Найдите момент и величину момента этой силы относительно точки O (2; —1; 3).
1.81. К материальной точке приложены две силы F1 и F2, причем | F1| + | F2| = 4 Н и (F1; ^ F2) = 120°. Найдите наименьшее значение величины равнодействующей этих сил.
1.82. Определите, лежат ли в одной плоскости следующие четыре точки:
1.83. Вершины пирамиды находятся в точках A(2; 1; —1), В (3; 0; 1), С (2; —1; 3) и D (0; —7; 0). Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины D.
1.84. На плоскости даны четырехугольник ABCD и точка М. Докажите, что точки, симметричные точке М относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.
1.85. Докажите, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.
1.86. Докажите, что для взаимной перпендикулярности диагоналей четырехугольника необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов длин его прoтивоположных сторон были равны.
1.87. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч в северном направлении и ему кажется, что ветер (который дует со скоростью 9 км/ч откуда-то с северо-востока) направлен под углом 15° к линии его движения. Найдите истинное направление ветра.
1.88. На стороне АВ треугольника ABC дана точка Р, через которую проведены прямые параллельно его медианам АМ1 и ВМ2 и пересекающие соответствующие стороны треугольника в точках A1 и B1. Докажите, что середина отрезка A1B1 точка Р и точка пересечения медиан данного треугольника лежат на одной прямой.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Домашнее задание 3
Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать
Домашнее задание 3
3. В некотором базисе векторы заданы координатами: а = (1,1,2), е1 = (2,2,-1), е2 = (0,4,8), е3 = (-1,-1,3). Убедиться, что векторы е1, е2, е3 образуют базис, и найти в нем координаты вектора а .
Видео:№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать
4. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = (3,-5,8) и b = (-1,1,-4).
Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать
Ответ: )
5. Векторы = (2,6,-4) и = (4,2,-2) определяют стороны треугольника АВС. Найти длину вектора , совпадающего с медианой, проведенной из вершины С. (Ответ: )
6.При каком значении α векторы a = 2i —3j+2k и b = i +2j-2k взаимно перпендикулярны?
9.Вычислить площадь треугольника ABC с вершинами A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(4, 3, 2).
10.Вычислить работу силы F = i + 2j + k при перемещении материальной точкой из положения А (-1, 2, 0) в положение В (2, 1, 3).
Видео:Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать
Примеры решения задач с векторами
Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Координаты вектора
Теоретический материал по теме — координаты вектора.
🎦 Видео
№767. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы а=АВ и b=АС следующие векторы:Скачать
№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½yСкачать
9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать
Образуют ли данные векторы базисСкачать
89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать
Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Разложить вектор m по векторам a,b,cСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать
Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать