Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Окружность проходящая через все вершины треугольника называетсяСерединный перпендикуляр к отрезку
Окружность проходящая через все вершины треугольника называетсяОкружность описанная около треугольника
Окружность проходящая через все вершины треугольника называетсяСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Окружность проходящая через все вершины треугольника называетсяДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Геометрия. 7 класс. Урок 9 "Окружность проходящая через вершины треугольника"Скачать

Геометрия. 7 класс. Урок 9 "Окружность проходящая через вершины треугольника"

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Окружность проходящая через все вершины треугольника называетсяВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОкружность проходящая через все вершины треугольника называетсяОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОкружность проходящая через все вершины треугольника называетсяЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОкружность проходящая через все вершины треугольника называетсяЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовОкружность проходящая через все вершины треугольника называется
Площадь треугольникаОкружность проходящая через все вершины треугольника называется
Радиус описанной окружностиОкружность проходящая через все вершины треугольника называется
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаОкружность проходящая через все вершины треугольника называется

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиОкружность проходящая через все вершины треугольника называется

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОкружность проходящая через все вершины треугольника называется

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОкружность проходящая через все вершины треугольника называется

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовОкружность проходящая через все вершины треугольника называется

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаОкружность проходящая через все вершины треугольника называется

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиОкружность проходящая через все вершины треугольника называется

Для любого треугольника справедливо равенство:

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!Скачать

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Окружность проходящая через все вершины треугольника называется

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Треугольник: вписанная и описанная окружности

Видео:Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление

Окружность, описанная около треугольника

Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около треугольника окружностью.

  • Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;
  • Радиус описанной окружности можно найти из теоремы синусов : a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R frac=frac=frac=2R sin α a ​ = sin β b ​ = sin γ c ​ = 2 R .

🎦 Видео

Окружность проходит через вершины  A  и  C  треугольника ABC ... ОГЭ, геометрия, часть 11Скачать

Окружность проходит через вершины  A  и  C  треугольника ABC ... ОГЭ, геометрия, часть 11

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

65 Вписанная окружность и окружность, проходящая через две вершины и центр вписанной окружностиСкачать

65 Вписанная окружность и окружность, проходящая через две вершины и центр вписанной окружности

78. Описанная окружностьСкачать

78. Описанная окружность

Вершины треугольника делят окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11Скачать

Вершины треугольника делят  окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Описанная окружностьСкачать

Описанная окружность

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: