Как сравнить прямоугольные треугольники

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.

1. Признак равенства по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

Как сравнить прямоугольные треугольники

Как сравнить прямоугольные треугольникиABC = Как сравнить прямоугольные треугольникиA1B1C1, т.к. AB = A1B1 и AC = A1C1.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

Как сравнить прямоугольные треугольники

Как сравнить прямоугольные треугольникиABC = Как сравнить прямоугольные треугольникиA1B1C1, т.к. AC = A1C1, Как сравнить прямоугольные треугольникиC = Как сравнить прямоугольные треугольникиC1

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны

Пример:

Как сравнить прямоугольные треугольники

Как сравнить прямоугольные треугольникиABC = Как сравнить прямоугольные треугольникиA1B1C1, т.к. BC = B1C1, Как сравнить прямоугольные треугольникиB = Как сравнить прямоугольные треугольникиB1

Доказательство

Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 , то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Пример:

Как сравнить прямоугольные треугольники

Как сравнить прямоугольные треугольникиABC = Как сравнить прямоугольные треугольникиA1B1C1, т.к. BC = B1C1, AB = A1B1

Доказательство

Дано: Как сравнить прямоугольные треугольникиABC, Как сравнить прямоугольные треугольникиA1B1C1, BC = B1C1, AB = A1B1

Доказать: Как сравнить прямоугольные треугольникиABC = Как сравнить прямоугольные треугольникиA1B1C1

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Как сравнить прямоугольные треугольники

Так как Как сравнить прямоугольные треугольникиA = Как сравнить прямоугольные треугольникиA1, то Как сравнить прямоугольные треугольникиABC можно наложить на Как сравнить прямоугольные треугольникиA1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A1C1 и A1B1. При этом вершина B совместится с вершиной B1, потому что AB = A1B1. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C1. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C2 луча A1C1, то получим равнобедренный треугольник C1B1C2.

Как сравнить прямоугольные треугольники

В Как сравнить прямоугольные треугольникиC1B1C2 углы при основании не равны (Как сравнить прямоугольные треугольникиC2острый, а Как сравнить прямоугольные треугольникиC1тупой, так как он смежный с углом B1C1A1, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C1. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A1B1C1, т.е. они равны, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.


Катет в прямоугольном треугольнике
— это две стороны прилежащие к прямому углу.

Как сравнить прямоугольные треугольники

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

  1. Сумма острых углов 90˚.
  2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
  4. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
    Как сравнить прямоугольные треугольники

Формулы:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна
    половине произведения катетов:
    Как сравнить прямоугольные треугольники
  2. Радиус описанной окружности около прямоугольного
    треугольника равен половине гипотенузы:
    Как сравнить прямоугольные треугольники
  3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
    выражается следующим образом:
    Как сравнить прямоугольные треугольники
  4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Как сравнить прямоугольные треугольники

Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

  1. По двум катетам:
    Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Как сравнить прямоугольные треугольники
  2. По катету и гипотенузе:
    Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Как сравнить прямоугольные треугольники
  3. По гипотенузе и острому углу:
    Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольникиравны.
    Как сравнить прямоугольные треугольники
  4. По катету и острому углу:
    Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.

Как сравнить прямоугольные треугольники

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

  1. По теореме Пифагора:
    Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  2. По центру описанной окружности:
    Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
    то треугольник прямоугольный.
  3. По медиане:
    Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
    то треугольник прямоугольный.
  4. По площади:
    Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  5. По радиусу описанной окружности:
    Если радиус описанной окружности равен половине,
    то треугольник прямоугольный.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют доказать равенство треугольников всего по двум парам элементов.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Как сравнить прямоугольные треугольники

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Как сравнить прямоугольные треугольники

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Как сравнить прямоугольные треугольники

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

1) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу

Как сравнить прямоугольные треугольники

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Как сравнить прямоугольные треугольники

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.

35 Comments

Спасибо, все коротко и ясно.

спасибо большое) доступно все объяснили

А где пятый признак?

Max, признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу разбивается на два признака: по катету и противолежащему углу и по катету и прилежащему углу, потому что доказывают их отдельно.

Можно написать 5-ый признак равенства прямоугольных треугольников исходя из третьего признака равенства треугольников(не обязательно прямоугольных): если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Спасибо выручили.
Очень рад, что всё так доступно и понятно.

есть еще по катету и противолежащему острому углу

Да, признак равенства по катету и острому углу иногда разбивают на два.

Офигенно! Большое спасибо!

Спс,как раз геометрию не слушал.

В геометрии знание теории — основа. Поэтому желательно слушать)

все нормально конечно ,но было бы лучше если б было доно.

Это разве не нужно доказывать ? Плз ответ, у меня экзамен будет и нужно знать,надо это доказывать или прочитать хватит ?

Роман, если использовать признаки равенства в ходе решения других задач, то каждый раз доказывать их не нужно.

Спасибо у нас злая алгебраических которая ничего не объясняет поэтому никто не понял.

А вы на уроке попробуйте не шуметь. От этого выиграет и класс, и учитель.

Спасибо, помогли подготовиться к зачёту!

Удачно Вам сдать зачёт!

Скоро зачёт,и решил почитать не из учебника,а тут.Итог: Всё быстро и понятно,без так сказать «воды»,вообщем,спасибо

Игорь, удачи Вам на зачёте!

Спасибо большое у меня через 1 месяц экзамен

Илья, желаю Вам успешно сдать экзамен!

Здравствуйте. Хотелось бы к Вам обратиться по имени, но не вижу его. Спасибо Вам за сайт. Доступно, понятно, наглядно! Приятно, что при доказательстве теорем Вы стремитесь к оптимальному, более короткому пути, например в свойстве медиан треугольника. Что же касается признака равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. Вы объясняли в переписке некоторым людям, что он разбивается на два признака. Тем не менее, Вы оставляете некорректную формулировку: «Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». При этом поясняющий рисунок соответствует верному случаю и не показывает другой — неверный. Все же нужно согласиться с тем, что это два различных признака с различными формулировками, как у Вас и написано, правда в другом месте, в разделе доказательства.
С уважением,
Олег.

Здравствуйте, Олег!
Спасибо Вам за внимание к моему ресурсу.

Зовут меня Светлана Михайловна. Учу детей математике 28 лет: 16 — в школе, 12 — как репетитор. Сайты (у меня их несколько) создавала для помощи школьникам и их родителям. К сожалению, информация в учебнике не всегда изложена доступно. Очень хочется, чтобы ученики поняли, что математика (в частности, геометрия) — интересный и не такой уж сложный предмет.

Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака, как это сделано, к примеру, в учебнике Бутузова? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.

Спасибо Светлана за такой отличный сайт скоро экзамен помогает надеюсь,что ваш сайт будет продвигаться вперёд,для школьников и родителей! Ещё раз спасибо!?

Никита, желаю Вам успешно сдать экзамен!

Cпасибо Вам огромное, Светлана Михайловна! Полгода геометрии прослушал, сейчас всё понятно. И всё-таки, Олег прав, по катету и острому углу — 2 различные теоремы. Скиньте ссылку на остальные Ваши сайты мне на почту, пожалуйста
С уважением,
Влад

Спасибо) помогло при подготовке к экзаменам.

Здравствуйте, Светлана Михайловна. Давно к Вам не заходил. Я оставил комментарий от 28.04.2018, касающийся теоремы:
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Вы ответили:
«Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака…? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.»
Да, это важно, поскольку Ваша формулировка неверна. Неверно, что если катет и острый прилежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
С уважением
Олег Леонидович Шлейфман.

Воу, последний комментарий аж 2019 года. Спасибо всё коротко и ясно, как говорится, краткость — сестра таланта!)

📺 Видео

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть.  7 класс.

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Решение прямоугольных треугольниковСкачать

Решение прямоугольных треугольников

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольников

Геометрия 7 Прямоугольные треугольникиСкачать

Геометрия 7 Прямоугольные треугольники

Видеоурок. 7 класс. Тема: "Прямоугольные треугольники"Скачать

Видеоурок. 7 класс. Тема: "Прямоугольные треугольники"

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольников

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ
Поделиться или сохранить к себе: