Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

Систематизация знаний по геометрии при подготовке к ЕГЭ по теме «Вписанные и описанные окружности. Треугольник. Четырехугольник»

Разделы: Математика

На итоговых уроках по геометрии времени на то, чтобы прорешать задачи по всему курсу в целом практически не остается. А в КИМы ЕГЭ традиционно включаются задачи, решение которых требует знаний планиметрии по теме «Вписанные и описанные окружности». Поэтому предложенный материал поможет не только вспомнить данную тему, но и систематизировать ранее полученные знания по решению планиметрических задач на вписанные и описанные окружности, а также подготовиться к решению подобных задач в ЕГЭ. При этом предполагается, что ученик хотя бы на минимальном уровне владеет всем курсом школьной геометрии (планиметрии).

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные задачи, не выработав прочных навыков по изготовлению «хороших» чертежей, не выработав привычки (даже рефлекса) – не начинать решать задачу, пока не сделан «большой и красивый» чертеж. В качестве основного метода решения геометрических задач выдвигается алгебраический метод с составлением последующего алгоритма. Ставя во главу угла алгебраический метод, необходимо предостеречь от чрезмерного увлечения алгеброй и счетом, не забывать о том, что речь идет все же о геометрических задачах, а поэтому, работая над задачей, следует искать геометрические особенности, учиться смотреть и видеть геометрию. Выделив два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи, – чертеж плюс метод, добавим сюда третье – владение определенными теоремами и опорными задачами, известными геометрическими фактами.

I. Необходимые теоремы и опорные задачи для окружности, вписанной в треугольник и четырехугольник, и окружности, описанной около треугольника и четырехугольника. (Приложение 1)

II. Решение задач по готовым чертежам (удобно воспользоваться кодоскопом).

При этом ученики устно объясняют ход решения задач, формулируют теоремы и опорные задачи, применяемые при решении задач по готовым чертежам.

Готовый чертеж

Дано
Найти

Решение
Ответ

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAB = BC

PABC = ?Отрезки касательных равны: BM = BK = 5
AB = BC = 12
MC = CN = 7, AC = 14, AK = AN = 7,
PABC = 12 + 12 + 14 = 38
Ответ: PABC = 38

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

AB = 6,
АО = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

PABC = ?Отрезки касательных равны: АВ = ВС
1) Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
2) АВ = ВС, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, т.к. ВО – биссектриса
3) Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюАВС – равносторонний, PABC = 6 • 3 = 18
Ответ: PABC = 18

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAD – диаметр окружности,
АВ = 3,
ВД = 4
1. Доказать: NM Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAD
2. R = ?1. Т.к. AD – диаметр, то DB Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAN и AC Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюDN, т.е. AC и DB – высоты Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюАND, тогда NK – высота, т.к. они пересекаются в одной точке.
Значит NM Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAD.
2. AD = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 5, R = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Ответ: R = 2,5

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюR = ?AC – диаметр окружности и гипотенуза прямоугольного Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюАВС, R = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 1,5
Ответ: R = 1,5

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAB = 24,
ОК = 5

R = ?О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью.
Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюBKO – прямоугольный, ВК = AK = 12,
КО = 5, ВО = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 13 = R
Ответ: R = 13

III. Решение задач.

1. Найти периметр прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности 2 см, а гипотенуза 13 см.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюПусть AM = AN = x, тогда AC = x + 2, CB = 2 + 13 – x = 15 – x
(x + 2) 2 + (15 – x) 2 = 169
x 2 – 13x + 30 = 0
x1 = 10, x2 = 3; AC = 6, CB = 12; P = 30 см
Ответ: P = 30 см.

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности 3 см, О – центр вписанной окружности, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью. Найти площадь треугольника.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюАО – биссектриса, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAKO – прямоугольный,
sin Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= sin 30 о = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, АО = 6,
AN = AK = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 3Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, AC = 3 + 3Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью,
tg 60 о = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, CB = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
SABC = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Ответ: S = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюсм2.

3. Периметр треугольника 84. Точка касания вписанной окружности делит одну из сторон на отрезки 12 и 14. Найти радиус вписанной окружности и площадь Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюАВС, если ОВ = 18, О – центр вписанной окружности.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюP = 84, KB = BN = 16, ON = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= r
AB = 28, BC = 30, AC = 26
По формуле Герона: SABC = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 336
Ответ: r = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью; S = 336.

4. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины не равного угла 5 см. Большая сторона 10 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюOB = 5, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью,
OM = OB . Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, BH = 5 + r,
AH = 2r, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAHB – прямоугольный, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
4r 2 = 100 – (5 + r) 2 , r 2 + 2r – 15 = 0, r1 = – 5, r2 = 3
Ответ: r = 3 см.

5. Основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см, равно 6 см. Найти периметр треугольника.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюРешить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAHO – прямоугольный: OH = 4, BH = 4 + 5 =9,
AB = BC = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
P = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Ответ: P = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюсм.

6. Периметр треугольника АВС равен 72 см. AB = BC, AB:AC = 13:10. Найти радиус описанной около треугольника окружности.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAB + BC + AC = 72, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
AC = 20, AB = BC = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 26, BH = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 24
BN = NA = 13, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, R = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Ответ: R = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюсм.

7. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24 см, а радиус описанной окружности 13 см. Найти боковую сторону треугольника.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюOC = 13, AC = 24, HC = 12
Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюHOC – прямоугольный, OH = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 5
BH = BO – OH =13 – 5 = 8
Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюBHC – прямоугольный, BC = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Ответ: Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюсм.

8. Окружность, диаметром которой служит АС треугольника АВС, проходит через точку пересечения медиан этого треугольника. Найти отношение длины стороны АС к длине проведенной к ней медианы.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAO = OC = R = OM, BM = 2R,
BO = 3R, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Ответ: Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью.

9. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюSABCD = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью
Т.к. окружность вписанная, то AB + CD = AD + BC = 20
h = 2r = 8, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, SABCD = 10 • 8 = 80
Ответ: 80.

10. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба AC в точке E. Найдите CE, если AB = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, BD = 16.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюРешить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюAOB – прямоугольный: AO = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью= 16
AD = 32
По теореме об отрезках пересекающихся хорд:
BO • OD = AO • OE, 8 • 8 = 16 • OE, OE = 4, CE = 16 – 4 = 12
Ответ: 12.

IV. Задачи для самостоятельного решения.

1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Найдите больший катет треугольника.

2. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75о описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота BH равна 12 и известно, что Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью.

4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

5. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18.

6. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM= 18, MK = 8, BK = 10.

7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

8. Угол В треугольника АВС равен 60 о , радиус окружности, описанной около АВС, равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и С и центр окружности, вписанной в АВС.

9. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

10. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найти отношение большего катета к меньшему.

Ответ: (Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью).

11. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке М, прямые AB и CD пересекаются в точке N. Известно, что Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью. Найти Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюи Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью.

12. Высоты AH и BK остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью. Найдите градусную меру угла ABO, где O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.

13. Около окружности описана равнобочная трапеция с основаниями 5 и 3. Найти радиус окружности.

Ответ: (Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью).

14. В равнобедренный Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюАВС с основанием BC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке M. Найдите радиус окружности, если AM = 6, BM = 24.

15. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Через центр O вписанной в треугольник окружности проведен луч BO, пересекающий катет AC в точке M. Известно, что AM = Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью. Найдите гипотенузу и радиус окружности, описанной около треугольника.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Решение №1128 Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р …

Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Источник: ОГЭ 2021 Ященко (36 вар)

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

Четырёхугольник CBKP вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°. Пусть ∠В равен х , тогда противолежащий ∠СРК = 180° – х. Угол ∠АРК смежный к ∠СРК, тогда ∠АРК = 180 – (180 – х) = х. Значит ∠АРК = ∠В.
В ΔСАВ и ΔРАК: ∠АРК = ∠В, угол А общий, значит эти треугольники подобны по двум равным углам. Тогда и стороны подобны:

По условию АВ = 2·ВС , AP = 34 , тогда:

Ответ: 17.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Видео:Геометрия Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВССкачать

Геометрия Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

Задание 16. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что АВ = CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC = 35°, угол ACB = 65°.

а) Угол BCD – вписанный и опирается на диаметр окружности, значит, он равен 90°. Далее, пусть Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, тогда Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью. Учитывая, что Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью. Получаем: Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, откуда следует, что дуги Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностьюи, следовательно, CF=AD.

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

б) Угол Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью, тогда Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью(так как дуги AD=CF, см. п. а) и Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью. Из треугольника ABC найдем угол ABC:

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

Решить задачу с треугольникам авс с пересекающей окружностью

Учитывая, что треугольник DBF прямоугольный с гипотенузой DB=2∙12=24 и углами 30° и 60°, катет DF, лежащий против угла в 30°, равен:

🌟 Видео

ОГЭ без рекламы математика 17 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 17 вариант задача 25

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

ЕГЭ Задание 16 Описанная окружностьСкачать

ЕГЭ Задание 16 Описанная окружность

Задание 24 ОГЭ по математике #3Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #3

Разбор Задачи №16 из работы Статград от 29 января 2020 (Запад)Скачать

Разбор Задачи №16 из работы Статград от 29 января 2020 (Запад)

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 15

Геометрия Окружность, построена на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает сторонеСкачать

Геометрия Окружность, построена на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороне

✓ Самая сложная задача в ОГЭ-2020 | Задание 26. Математика | Геометрия | Борис ТрушинСкачать

✓ Самая сложная задача в ОГЭ-2020 | Задание 26. Математика | Геометрия | Борис Трушин

Геометрия Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружностьСкачать

Геометрия Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружность

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

ОГЭ 2021. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ 2021. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Геометрия Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этогоСкачать

Геометрия Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого

САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать

САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математике

Геометрия. Задача. Треугольник. Окружность.Скачать

Геометрия.  Задача.  Треугольник.  Окружность.

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС вСкачать

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС в

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи
Поделиться или сохранить к себе: