Какому условию должны удовлетворять векторы a и b чтобы имели место следующие соотношения

1.Какому условию обязаны удовлетворять векторы a и b, чтоб (a-b)(a+b)? Если что-то не понятно: a и b-векторы, — значок коллинеарности. Я знаю, что векторное творенье коллинеарных векторов = нулевому вектору, сейчас занимаюсь этим мазохизмом, но, боюсь, это ни к чему не приведет. Есть какой-то еще вариант решения?

• Михаил Карпухин
• Математика 2019-10-18 17:22:03 0 1

Векторное произведение здесь не при этом, решение основывается на свойстве: сумма (разность) двух коллинеарных векторов является вектором коллинеарным к изначальным. Тогда набивается последующее условие: a и b обязаны быть коллинеарны.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

§ 31. Скалярное произведение векторов

§ 31. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное про­изведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а, b обозначается символом аb (по­рядок записи сомножителей безразличен, т. е. аb = bа).

Если угол между векторами а, b обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой . (1)

Скалярное произведение векторов а, b можно выразить также формулой

, или

Из формулы (1) следует, что ab > 0, если — острый угол, ab

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Перевозский строительный колледж»

по выполнению внеаудиторной

по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики

Для специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы

Составитель: Панькова Наталья Викторовна

Составитель: Панькова Н.В.

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики. Для студентов специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы / Перевоз, 2014. – 38 с.

Данные методические указания составлены в помощь преподавателям и обучающимся.

В методических указаниях представлены задания для внеаудиторной самостоятельной работы.

Предназначены для студентов второго курса, специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы, изучающих дисциплину ЕН.01 Элементы высшей математики.

Рецензент: Кузьмина Т.А. – зав. кафедрой информационных технологий ГБОУ СПО «Перевозский строительный колледж».

Рассмотрено на заседании кафедры

____ информационных технологий ________

Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.

_________________ Кузьмина Т.А.

Утверждено на заседании

Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Оглавление

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Введение

Данные м етодические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики имеют своей целью:

систематизацию и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

углубление и расширение теоретических знаний;

формирование умения использовать справочную и дополнительную литературу;

формирование самостоятельности мышления, способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Данный курс составлен в соответствии с требованиями ППССЗ по дисциплине математического и общего естественнонаучного учебного цикла ЕН.01 Элементы высшей математики по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы .

Видео:✓ Векторы. Новая задача в ЕГЭ | Задание 2. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Цель и задачи освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики

В результате изучения данной дисциплины Вы должны

выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

решать дифференциальные уравнения.

основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;

основы дифференциального и интегрального исчисления.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики

Процесс изучения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики направлен на формирование следующих компетенций в соответствии с программой ФГОС СПО по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.2. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.

ПК 1.4. Проводить измерения параметров проектируемых устройств и определять показатели надежности.

ПК 2.2. Производить тестирование, определение параметров и отладку микропроцессорных систем.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Видео:Линейная зависимость векторовСкачать

Тема 1.1 Матрицы и определители

Цель работы: отработка навыков по в ыполнению операций над матрицами, вычислению определителей, вычислению обратной матрицы.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера .

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Транспонирование матрицы – замена строк матрицы её столбцами (или наоборот).

1. Даны матрицы А и В. Найти 2А+В 2 -5Е.

2. Даны матрицы А и В. Найти А∙В и В∙А и сравнить.

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁ .

Определитель обозначается символом .

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a ₁₁ , a ₁₂ , a ₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Вообще говоря, определитель может вычисляться разложением по любой строке или столбцу матрицы.

Минор произвольного элемента квадратной матрицы a _ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы a _ij называется его минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы,т.е. .

Таким образом, определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

Другой способ вычисления определителя называется правилом треугольника.

Таким образом, определитель равен:

1. Найти определители матриц А и В.

2. Вычислить определитель матрицы.

Если для матрицы А существует матрица А -1 , такая что выпоняется условие: А -1 ∙A = A∙ А -1 = E, то матрица А -1 называется обратной к матрице А.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Находим определитель матрицы Δ.

2. Находим транспонированную матрицу А Т

3. Для элементов матрицы А Т находим алгебраические дополнения

4. Элементы обратной матрицы можно вычислить по формуле:

1. Найти матрицы, обратные к матрицам А и В.

_{Вид контроля: оценка решенных задач}

Видео:Элементы векторной алгебрыСкачать

Тема 1.2 Системы линейных алгебраических уравнений

Цель занятия: отработка навыков решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система уравнений:

_,

Это система линейных алгебраических уравнений.

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

А- матрица системы, состоящая из коэффициентов при неизвестных,

В- матрица-столбец, состоящий из свободных членов,

Х- матрица-столбец неизвестных.

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

A = ; ₁ = ; ₂ = ; ₃ = ;

Сущность метода заключается в следующем: составляем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приводим её к ступечатому виду. Составляем новую систему и находим решение системы.

Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Систему уравнений можно записать в виде произведения матриц А∙Х=В. Тогда Х=А -1 ∙В, т.е. находим обратную матрицу А -1 и умножаем её на столбец свободных членов.

Решить системы уравнений тремя способами:

_{Вид контроля: оценка решенных задач}

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Векторы. Координатная плоскость. Задача 2Скачать

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами.

Цель занятия: отработка навыков по выполнению основных действий над векторами.

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х ₁ , y ₁ , z ₁ ), B ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), то .

Векторы называются коллинеарными , если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор —

Произведеним вектора на число α — , при этом коллинеарен .

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ), если

Если точка М(х, у, z ) делит отрезок АВ в соотношении / , считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

= cos

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Какому условию должны удовлетворять векторы а и b , чтобы вектор а + b делил пополам угол между векторами а и b .

По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) 3 а ; 2) — b ; 3) 2 а + b ; 4) а — 3 b .

Векторы а и b образуют угол ; зная, что | а | = 3, | b | = 4, вычислить: 1) аb ; 2) а 2 ; 3) b 2 ; 4) ( а + b ) 2 ; 5) ( 3 а — 2 b ) ( а + 2 b ); 6) ( а — b ) 2 ; 7) (3 а + 2 b ) 2 .

Векторы а и b взаимно перпендикулярны; вектор с образует с ними углы, равные , зная, что | а | = 3, | b | = 5, | c | = 8, вычислить: 1) (3 а — 2 b ) ( b + 3с); 2) (а + b + c ) 2 ; 3) ( а + 2 b — 3с) 2 .

Даны точки . Используя свойства векторного произведения, найти площадь треугольника АВС и внутренний угол при вершине В.

Будут ли его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны

_{Вид контроля: оценка решенных задач}

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Тема 2.2. Прямые на плоскости. Кривые второго порядка.

Цель занятия: закрепление навыков по составлению уравнений прямых на плоскости и уравнений кривых второго порядка.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Каждый ненулевой вектор ( ₁ , ₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А ₁ + В ₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим xcos + ysin — p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а — угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Угол между прямыми на плоскости.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой.

Прямая, проходящая через точку М ₁ (х ₁ , у ₁ ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A (5; —4), В(— 1; 3), С(—3; — 2) параллельно противоположным сторонам.

Даны середины сторон треугольника: М ₁ (2; 1), М ₂ (5; 3) и М ₃ (3; — 4). Составить уравнения его сторон.

Даны две точки: Р(2; 3) и Q(— 1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку PQ .

Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

Даны вершины треугольника М ₁ (2 ; 1), M ₂ (—1; —1) и M ₃ (3; 2). Составить уравнения его высот.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

— уравнение эллипса.

— уравнение “ мнимого ” эллипса.

— уравнение гиперболы.

y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

Задания: Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, определпить вид кривой второго порядка и найти основные характеристики.

💥 Видео

Подготовка к зачету по линейной и векторной алгебреСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 31-32. Векторная алгебра. Часть 01 (1973)Скачать

ЕГЭ. Математика. Векторы. Часть 2. ПрактикаСкачать

Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)Скачать

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Операции над векторамиСкачать

Алгебра и геометрия. Лекция 5. Определитель. Векторное произведение. Прямая в плоскости 5-37Скачать