Как вычислить абсолютную величину вектора

• Главная
• Репетиторы
• Статьи и материалы
• Контакты

Видео:Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.Скачать

1.Вектор и его абсолютная величина

Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор

. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:

. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора

имеют одинаковое направление. А вектора

Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

Рис.3 Сложение векторов.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

3.Умножение вектора на число

Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:

Для любых двух векторов

число λ можно вынести за скобку λ (

Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что

Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:

Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)

Так как координаты вектора

(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов

6.Пример 1

Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора

параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.

Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор

переходит в вектор

. А это значит, что эти вектора равны.

Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору

Рис.6 Задача. Четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Пример 2

Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов

Доказательство:

Найдем координаты векторов

Таким образом, координаты векторов следующие:

А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и x_AB = x_CD, y_AB = y_CD, то вектора

Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).

Пример 3

В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что

Доказательство:

, равный и параллельный вектору

от точки С. И отложим вектор

, равный и параллельный вектору

от точки В (Рис.8).

Тодга получим параллелограмм, в котором вектор

, так же как вектор

. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то

Отсюда можно сделать вывод: так как

Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.

Пример 4

(-3;-2). Найдите вектор

и его абсолютную величину.

Решение:

, то найдем его координаты:

Теперь найдем его абсолютную величину:

| 2 = (-1) 2 + (-4) 2 = 17

| =

(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы

Рис.9 Задача. Даны векторы

Пример 5

Найдите угол между векторами

Решение:

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:

Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /

Таким образом, угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>

Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами

Видео:§7 Направляющие косинусы вектораСкачать

Как определить абсолютную величину вектора?

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Как найти величину вектора?

Величина вектора равна длине гипотенузы этого треугольника, и для ее вычисления можно воспользоваться теоремой Пифагора. Чтобы вычислить величину вектора, запишите теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: A2 + B2 = C2.

Видео:Абсолютная величина вектораСкачать

Что такое абсолютная величина вектора?

Абсолютная величина вектора — то же, что его модуль. Если вектор изобразить в виде направленного отрезка, то модуль — это длина отрезка. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Что такое абсолютная величина вектора направление вектора?

Направление вектора определяется указанием его начала и конца. . Векторы и одинаково направлены, а векторы и противоположно направлены. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Видео:8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

Что такое сложение векторов?

Суммой двух векторов u и v называется третий вектор w, проведенный из начала u к концу v, если начало вектора v совпадает с концом вектора u. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Видео:Вид вектора в зависимости от координат вектора.Скачать

Какие векторы коллинеарны?

linearis — линейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Видео:Урок 2. Векторы. Абсолютная величина вектора. Модуль вектора. Геометрия 9 класс.Скачать

Как узнать что векторы перпендикулярны?

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Даны два вектора ⃗a(xa;ya) a → ( x a ; y a ) и ⃗b(xb;yb) b → ( x b ; y b ) . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Какая величина является векторной величиной?

Векторная величина или вектор — это всякая величина, обладающая направлением. Скалярная величина или скаляр — это всякая величина, не обладающая направлением. Пример 1.

Видео:Абсолютная величина или модуль числа | ПОСМОТРИ ПЕРВЫМ!Скачать

Что такое вектор?

Вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Видео:Координаты вектора и действия с нимиСкачать

Характеристики вектора: длина, направление, координаты

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

• длина (математики говорят «модуль вектора»)
• направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

( a_ ) – это «x» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Ox;

( a_ ) — это «y» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Oy;

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,

( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,

[ overrightarrow = left< AB_; AB_ right> ]

[ begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 end ]

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_ ) и ( a_ ) — это числа, координаты вектора ( vec )

Для двухмерного вектора:

Для трехмерного вектора:

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

Видео:#векторы Обзор VectorsСкачать

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

• угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
• или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Словами указать направление вектора можно так:

• вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
• Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

• угол между вектором и осью Oz;
• и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

• длину вектора,
• угол между осью Ox и вектором и
• угол между осью Oz и вектором.

📹 Видео

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

понятие вектора, абсолютная величина вектора, равенство векторовСкачать

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Рис.1 Обозначение векторов. Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать Координаты вектора Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут: Координаты нулевого вектора равны нулю. Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е. Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.	Рис.2 Координаты вектора. Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать 2.Сложение векторов Пусть заданы два вектора со своими координатами (b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами В векторной форме можно записать так: Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма. Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор параллельным переносом так, чтобы конец вектора совпадал с началом вектора . Тогда начало вектора и конец вектора и будет сумма векторов По методу параллелограмма, если два вектора имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор Разностью двух векторов называется такой вектор , который нужно прибавить к вектору , чтобы получить вектор	Рис.5 Скалярное произведение векторов. Отсюда вытекает следующий вывод: если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.