Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Решение задач по теме «Параллельные прямые»

Разделы: Математика

Задачи:

  • учащиеся группы «А» должны уметь решать базовые задачи по теме «Параллельные прямые», учащиеся группы «В» совершенствуют навыки решения задач по данной теме, учащиеся группы «С» должны уметь применять знания в нестандартной обстановке;
  • развивать устную и письменную математическую речь, выражать свои мысли, умение работать самостоятельно и в группе, логическое мышление;
  • воспитывать ответственность, аккуратность, аккуратности в построении чертежей, трудолюбия.

Ход урока

I. Орг. момент

II. Постановка задач урока учащимися

III. Решение задач

Для учащиеся группы «С» — индивидуально-групповая работа

Для учащихся группы «В» — индивидуальная работа

Для учащихся группы «А» — работа с учителем.

Задачи для учащихся группы «А»

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

  • назвать внутренние односторонние углы
  • назвать внутренние накрест лежащие угла
  • вертикальные углы
  • смежные
  • соответственные

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Дано: Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Какие из прямых а, b с — параллельные?

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Прямые а и в параллельны

  1. угол 1 равен 138°. Найти величину остальных углов.
  2. один из двух внутренних односторонних углов на 20° меньше другого. Найти все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей

4. Прямые параллельны, если равны…

а) смежные углы
б) накрест лежащие углы
в) односторонние углы

5. Выяснить взаимное расположение прямых m и n.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

После решения задач, учащимся предложить аналогичные задачи для самостоятельного решения. В конце урока тетради сдаются на проверку учителю.

Задачи для учащихся группы «В»

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

2) У одного человека было трое сыновей. Однажды позвал он их и говорит:

— Слыхал я, что продаются в городе кувшины мудрости. Дно у них параллельно донышку. Кому повезет такой кувшин купить, тот до конца жизни горя знать не будет. Дам я вам по мешочку золота, отправляйтесь в город и постарайтесь купить себе по такому кувшину. Какие кувшины нужно купить братьям?

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Задачи для учащихся группы «С»

1. АВ параллельна А1В1, АК — биссектриса угла ВАМ, А1К1 — биссектриса угла В1А1М. Могут ли пересекаться прямые АК и А1К1? Почему?

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

2. ВЕ параллельна ДС. АВ = ВД = ВС.

Доказать: прямая ДС перпендикулярна прямой АС

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

3*. ВЕ параллельна АК, АВ параллельна ДЕ, АВ = ДС.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

4. Прямая АВ параллельна прямой СД, угол СДА равен 20°, угол ДЕВ равен 70°.

Найти величину угла АВС.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

5*. Внутри треугольника АВС отмечена точка К. Через нее проведены прямые, параллельные сторонам АС и АВ и пересекающие сторону ВС соответственно в точках М и Е, КМ = МС, КЕ = ЕВ. Докажите, что К – точка пересечения биссектрис

IV. Проверка ответов и разбор задач, вызвавших затруднение, у учащихся группы «В» и «С»

V. Подведение итогов урока.

Наш урок подходит концу. Пожалуйста, поделитесь своими мыслями о этом занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

-У меня получилось…

-У меня сначала вызвало затруднение, а потом…

— Я смогу теперь решить …

VI. Домашнее задание: индивидуальные карточки

VII. Параллельны ли прямые на рисунке?

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Параллельность прямых

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Как решать задачи с параллельными прямыми и секущей

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

🎬 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей  Задачи на признаки параллельност

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Свойства параллельных прямых и секущей. 4 задачи.Скачать

Свойства параллельных прямых и секущей. 4 задачи.

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 классСкачать

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 класс

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

решение задач на параллельность прямыхСкачать

решение задач на параллельность прямых
Поделиться или сохранить к себе: