Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Сфера, вписанная в пирамиду
Как найти радиус вписанной окружности тетраэдраБиссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости
Как найти радиус вписанной окружности тетраэдраСфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы
Как найти радиус вписанной окружности тетраэдраРадиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду
Как найти радиус вписанной окружности тетраэдраСфера, вписанная в треугольную пирамиду. Формула для радиуса вписанной сферы

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Видео:Как достроить равногранный тетраэдр и найти радиус описанной сферыСкачать

Как достроить равногранный тетраэдр и найти радиус описанной сферы

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .

Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если у пирамиды SA1A2 . An основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A1A2 . An , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA1A2 и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A1A2 . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA1A2 и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра(1)

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Радиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA1A2 . An и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

из формулы (3) получаем соотношение

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Ответ. Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами

то справедливы следующие равенства:

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

где символом Sполн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

где символами Vпир и Sполн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиус вписанной сферы тетраэдра

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства

Зная радиус сферы, вписанной в тетраэдр, нужно сначала найти ребро тетраэдра, а также можно без хитрых преобразований рассчитать сразу радиус сферы, описанной около тетраэдра. a=2√6 r_1 R_1=3r_1

Зная ребро тетраэдра через радиус вписанной сферы, можно рассчитать периметр тетраэдра, равный длине всех шести его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра, состоящей из четырех таких граней. P=12√6 r_1 S_1=6√3 〖r_1〗^2 S_(п.п.)=4S_1=24√3 〖r_1〗^2

Кроме радиусов вписанной и описанной около тетраэдра сфер, у него есть также радиусы вписанной и описанной окружностей около грани, являющейся основанием, которые можно вычислить через радиус вписанной сферы. r=√2 r_1 R=2√2 r_1

Высота и апофема тетраэдра располагаются под прямым углом к основанию с той лишь разницей, что высота падает в центр основания, являющийся по совместительству центром для вписанной и описанной окружностей основания, а апофема опускается по боковому ребру в центр стороны основания. h=4r_1 l=3√2 r_1

Чтобы вычислить объем тетраэдра через радиус сферы, вписанной в него, нужно возвести радиус в третью степень и умножить его на восемь корней из трех. V=8√3 〖r_1〗^3

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Нахождение радиуса шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус шара (сферы), вписанного в правильную пирамиду: треугольную, четырехугольную, шестиугольную и тетраэдр.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Формулы расчета радиуса шара (сферы)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

    a – ребро основания пирамиды, т.е. это равные отрезки AB, AC и BC;

Если известны значения этих величин, то найти радиус (r) вписанного шара/сферы можно по формуле:

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Частный случай правильной треугольной пирамиды – это правильный тетраэдр. Для него формула нахождения радиуса выглядит следующим образом:

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Правильная четырехугольная пирамида

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

  • a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD и AD;
  • EF – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы рассчитывается так:

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

Правильная шестиугольная пирамида

Как найти радиус вписанной окружности тетраэдра

  • a – ребро основания пирамиды, т.е. AB, BC, CD, DE, EF, AF;
  • GL – высота пирамиды (h).

Радиус (r) вписанного шара/сферы вычисляется по формуле:

📺 Видео

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Быстро находим радиус описанной сферыСкачать

Быстро находим радиус описанной сферы

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Нахождение высоты тетраэдра.Скачать

Нахождение высоты тетраэдра.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика
Поделиться или сохранить к себе: