Точки симметричные центру описанной окружности относительно сторон треугольника (2 видео)

Содержание

Замечательные точки и линии треугольников. 9-й класс
Презентация к уроку
Ортоцентр.
Осевая и центральная симметрия
Что такое симметрия
Осевая симметрия
Центральная симметрия
Задачи на самопроверку
🎬 Видео

Видео:Построение треугольника, симметричного данному относительно точки, принадлежащей его сторонеСкачать

Замечательные точки и линии треугольников. 9-й класс

Класс: 9

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (529 кБ)

Цели:

Познакомить с замечательными точками и линиями треугольника;
познакомить с методами доказательства свойств замечательных точек и линий треугольника;
повторить и обобщить материал по теме «Треугольник».

Задачи развивающие:

Развитие умения устанавливать закономерности;
развитие умения формулировать гипотезы, опровергать ошибочные и доказывать истинные;
развитие умения составлять алгоритм действий и действовать по алгоритму;
развитие математической интуиции;
развитие графической культуры и математической речи.

Задачи воспитательные:

Повышение познавательного интереса;
расширение математического кругозора;
развитие навыка конструктивного группового взаимодействия независимо от многообразия проявлений индивидуальности;
воспитание чувства ответственности;
развитие умения выступать перед аудиторией

Тип урока: изучение нового материала.

Метод: проблемно-исследовательский.

Форма: групповая.

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы занятия (слайд 1).

2. Повторение.

Треугольник – фигура удивительная. Она удивляет своей простотой, лаконичностью и в то же время своей универсальностью. Вспомните сколько раз, чтобы решить задачу или доказать теорему мы прибегали к разбиению многоугольника на треугольники.

Треугольник – первая геометрическая фигура, изученная нами в курсе геометрии. И сегодня мы поговорим о новых для вас свойствах треугольника, а треугольник в свою очередь поможет вам повторить очень много изученных в курсе планиметрии тем.

Вспоминаем изученные замечательные точки треугольника:

Центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис треугольника);
Центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника);
Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр);
Точка пересечения медиан треугольника.

Также вспоминаем алгоритм построения с помощью циркуля и линейки
каждой из этих точек.

Каждая группа получает индивидуальное задание (приложение 1, задание 1).

Задание № 1. (группа 1)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, описанную около треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный).

Задание № 1. (группа 2)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, вписанную в треугольник (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 3)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения высот треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 4)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения медиан треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

(Для экономии времени, группы получают заготовленные на альбомных листах изображения треугольников; все построения выполняются фломастерами, циркуль – «козья ножка» также с фломастером).

После выполнения каждая группа демонстрирует свои результаты и комментирует построения. При необходимости учитель вносит дополнения (слайды 3 – 6).

3. Свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Как вы думаете, все ли закономерности, связанные с треугольником мы изучили? (приложение 1, задание 2).

Задание № 2.

Постройте произвольную окружность.
Впишите в него произвольный остроугольный треугольник АВС.
Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H — точка пересечения высот.
Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Задание № 2.

Постройте произвольную окружность.
Впишите в него произвольный тупоугольный треугольник АВС.
Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H — точка пересечения высот.
Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Проверяем выполнение задания. Формулируем свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника. (Слайды 7, 9)

4. Продолжаем «открывать» новые точки и линии, связанные с геометрией треугольника.

1. А верите ли вы, что, если на сторонах треугольника построить равносторонние треугольники и около них описать окружности, то эти окружности пересекутся в одной точке? (слайд 11).

2. А верите ли вы, что, основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой? (слайд 14).

3. А верите ли вы, что, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности? (слайд 17).

4. А верите ли вы, что, в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой? (слайд 21).

5. Докажем рассмотренные нами свойства треугольника.

Каждая группа получает карточку с заданием и копию соответствующего слайда на электронном носителе (для экономии времени компьютеры, за которыми будут работать ребята, должны быть подготовлены заранее, фрагмент презентации загружен и выведен на экран). Карточка содержит формулировку задачи, ее доказательство и чертеж. Необходимо подготовить выступление по теме и привести доказательство утверждений, отмеченных значком. (Приложение 1. Задание 3).

Задание № 3 (группа 1)

На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекутся в одной точке, называемой точкой Торричелли? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Задание № 3 (группа 2)

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежать на одной прямой (прямая Симпсона)? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Задание № 3 (группа 3)

Докажите, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности (окружность Эйлера)?

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Задание № 3 (группа 4)

Докажите, что в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера)? (слайд 23)

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Проверяем выполнение задания. Каждая группа «представляет» свою замечательную точку или линию и доказывает связанное с ней утверждение (слайды 12 — 13, 15-16, 18-20, 22-24).

В качестве «сувенира», после доказательства каждой теоремы можно посмотреть соответствующие «созвездия» на «звездном небе» (слайды 28-31, к которым можно перейти с помощью кнопки «астроном», появляющейся, когда доказательство закончено).

Во время выступления слушатели должны отметить, какие теоремы из курса планиметрии за 7-9 классы используются для доказательства каждого утверждения и заполняют таблицу (Приложение 3).

После выступления группа строит соответствующую точку или прямую, выбирая наиболее подходящий чертеж. (Приложение 2.).

Учитель контролирует, при необходимости помогает выполнить построения. По завершении этого этапа работы еще раз проговариваем алгоритм построения.

6. Точки Фейербаха. (Слайды 25, 32)

Ну, и это еще не все!

Вернемся на минуту к окружности Эйлера.

Эта окружность, найденная в XVIII веке великим ученым А.Эйлером, была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали его Карл Фейербах. Он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха. Дополнительно К.Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида.

Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек К1, К2, К3 и К – называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Ну, и это еще не все!

7. Доказательство свойства точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Теперь, вспомнив практически весь материал по теме «Треугольник» и не только (таблица 1), рассмотрев методы доказательств четырех теорем, связанных с геометрией треугольника, мы можем вернуться к вашему сегодняшнему «открытию» и попробовать доказать его самостоятельно.

Доказать свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

(Группы работают самостоятельно при необходимой помощи учителя)

Наиболее успешное доказательство представляется классу, остальные группы вносят дополнения и замечания (слайды 8, 10, 26, 27)

Ну, и это еще не все!

8. Следствия:

1. Вернемся еще раз к окружности Эйлера: 1) радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности ∆АВС (слайд 33); 2) ∆АВH, ∆АСH, ∆ВСH имеют ту же окружность Эйлера, что и ∆АВС (слайд 34).

2. Вернемся к точке Торричелли – т.Ферма: 1) отрезки AA₁. BB₁ и СС₁ пересекаются в точке Торричелли и равны между собой; и 2) если точка Торричелли М лежит внутри треугольника, то сумма расстояний от точки М до вершин треугольника MА+MВ+MС – минимальна (слайд 35).

(А в каком случае т.Торичелли не лежит внутри треугольника?)

3. Вернемся к прямой Симпсона: 1) точки F₁, E₁, D₁ — симметричные точке Р относительно сторон ∆АВС, лежат на одной прямой F₁D₁; 2) прямая F₁D₁ проходит через ортоцентр Н ∆АВС; 3) прямая Симпсона делит отрезок РН пополам: РК = КН (слайд 36).

4. Вернемся к прямой Эйлера: 1) точка пересечения медиан делит отрезок ОН в отношении 1:2, считая от точки О; 2) центр окружности Эйлера т.N – лежит на прямой Эйлера и делит отрезок OH пополам (слайды 37).

А еще есть Точка Нагеля, точка Жергонна, точка Брокара, точка Лемуана…

9. Подведение итогов урока (обобщение нового материала, анализ работы групп).

Домашнее задание:

Выясните, как расположены точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон треугольника. Сформулируйте теорему и докажите ее.
Подготовьте экспресс-сообщение об ученом, чьим именем была названа точка или линия, свойство которой вы сегодня доказывали (Торричелли, Симпсон, Эйлер, Фейербах).

Литература:

Е.Д. Куланин, С.Н.Федин «Геометрия треугольника в задачах», Москва, книжный дом «Либроком», 2009 г.
И.М.Смирнова, В.А.Смирнов «Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи», учебное пособие 7 -11, Москва, Мнемозина, 2004 г.
«Энциклопедический словарь юного математика», Москва, «Педагогика», 1989г.

Видео:ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

Ортоцентр.

Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойства:

Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Ось симметрии угла — биссектриса.
Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.