Сравнение тангенсов по окружности

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Таблица ТАНГЕНСОВ для углов от 0° до 360° градусов

ТАНГЕНС (Tg α) острого угла в прямоугольном треугольнике равняется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
tg α (Тангенс)	0	1/√3	1	√3	—	0	—	0

Полная таблица тангенсов для углов от 0° до 360°

Угол в градусах	tg (Тангенс)
0°	0
1°	0.0175
2°	0.0349
3°	0.0524
4°	0.0699
5°	0.0875
6°	0.1051
7°	0.1228
8°	0.1405
9°	0.1584
10°	0.1763
11°	0.1944
12°	0.2126
13°	0.2309
14°	0.2493
15°	0.2679
16°	0.2867
17°	0.3057
18°	0.3249
19°	0.3443
20°	0.364
21°	0.3839
22°	0.404
23°	0.4245
24°	0.4452
25°	0.4663
26°	0.4877
27°	0.5095
28°	0.5317
29°	0.5543
30°	0.5774
31°	0.6009
32°	0.6249
33°	0.6494
34°	0.6745
35°	0.7002
36°	0.7265
37°	0.7536
38°	0.7813
39°	0.8098
40°	0.8391
41°	0.8693
42°	0.9004
43°	0.9325
44°	0.9657
45°	1
46°	1.0355
47°	1.0724
48°	1.1106
49°	1.1504
50°	1.1918
51°	1.2349
52°	1.2799
53°	1.327
54°	1.3764
55°	1.4281
56°	1.4826
57°	1.5399
58°	1.6003
59°	1.6643
60°	1.7321
61°	1.804
62°	1.8807
63°	1.9626
64°	2.0503
65°	2.1445
66°	2.246
67°	2.3559
68°	2.4751
69°	2.6051
70°	2.7475
71°	2.9042
72°	3.0777
73°	3.2709
74°	3.4874
75°	3.7321
76°	4.0108
77°	4.3315
78°	4.7046
79°	5.1446
80°	5.6713
81°	6.3138
82°	7.1154
83°	8.1443
84°	9.5144
85°	11.4301
86°	14.3007
87°	19.0811
88°	28.6363
89°	57.29
90°	∞

Таблица тангенсов для углов от 91° до 180°

Угол	tg (Тангенс)
91°	-57.29
92°	-28.6363
93°	-19.0811
94°	-14.3007
95°	-11.4301
96°	-9.5144
97°	-8.1443
98°	-7.1154
99°	-6.3138
100°	-5.6713
101°	-5.1446
102°	-4.7046
103°	-4.3315
104°	-4.0108
105°	-3.7321
106°	-3.4874
107°	-3.2709
108°	-3.0777
109°	-2.9042
110°	-2.7475
111°	-2.6051
112°	-2.4751
113°	-2.3559
114°	-2.246
115°	-2.1445
116°	-2.0503
117°	-1.9626
118°	-1.8807
119°	-1.804
120°	-1.7321
121°	-1.6643
122°	-1.6003
123°	-1.5399
124°	-1.4826
125°	-1.4281
126°	-1.3764
127°	-1.327
128°	-1.2799
129°	-1.2349
130°	-1.1918
131°	-1.1504
132°	-1.1106
133°	-1.0724
134°	-1.0355
135°	-1
136°	-0.9657
137°	-0.9325
138°	-0.9004
139°	-0.8693
140°	-0.8391
141°	-0.8098
142°	-0.7813
143°	-0.7536
144°	-0.7265
145°	-0.7002
146°	-0.6745
147°	-0.6494
148°	-0.6249
149°	-0.6009
150°	-0.5774
151°	-0.5543
152°	-0.5317
153°	-0.5095
154°	-0.4877
155°	-0.4663
156°	-0.4452
157°	-0.4245
158°	-0.404
159°	-0.3839
160°	-0.364
161°	-0.3443
162°	-0.3249
163°	-0.3057
164°	-0.2867
165°	-0.2679
166°	-0.2493
167°	-0.2309
168°	-0.2126
169°	-0.1944
170°	-0.1763
171°	-0.1584
172°	-0.1405
173°	-0.1228
174°	-0.1051
175°	-0.0875
176°	-0.0699
177°	-0.0524
178°	-0.0349
179°	-0.0175
180°	0

Таблица тангенсов для углов от 181° до 270°

Угол	tg (Тангенс)
181°	0.0175
182°	0.0349
183°	0.0524
184°	0.0699
185°	0.0875
186°	0.1051
187°	0.1228
188°	0.1405
189°	0.1584
190°	0.1763
191°	0.1944
192°	0.2126
193°	0.2309
194°	0.2493
195°	0.2679
196°	0.2867
197°	0.3057
198°	0.3249
199°	0.3443
200°	0.364
201°	0.3839
202°	0.404
203°	0.4245
204°	0.4452
205°	0.4663
206°	0.4877
207°	0.5095
208°	0.5317
209°	0.5543
210°	0.5774
211°	0.6009
212°	0.6249
213°	0.6494
214°	0.6745
215°	0.7002
216°	0.7265
217°	0.7536
218°	0.7813
219°	0.8098
220°	0.8391
221°	0.8693
222°	0.9004
223°	0.9325
224°	0.9657
225°	1
226°	1.0355
227°	1.0724
228°	1.1106
229°	1.1504
230°	1.1918
231°	1.2349
232°	1.2799
233°	1.327
234°	1.3764
235°	1.4281
236°	1.4826
237°	1.5399
238°	1.6003
239°	1.6643
240°	1.7321
241°	1.804
242°	1.8807
243°	1.9626
244°	2.0503
245°	2.1445
246°	2.246
247°	2.3559
248°	2.4751
249°	2.6051
250°	2.7475
251°	2.9042
252°	3.0777
253°	3.2709
254°	3.4874
255°	3.7321
256°	4.0108
257°	4.3315
258°	4.7046
259°	5.1446
260°	5.6713
261°	6.3138
262°	7.1154
263°	8.1443
264°	9.5144
265°	11.4301
266°	14.3007
267°	19.0811
268°	28.6363
269°	57.29
270°	∞

Таблица тангенсов для углов от 271° до 360°

Угол	tg (Тангенс)
271°	-57.29
272°	-28.6363
273°	-19.0811
274°	-14.3007
275°	-11.4301
276°	-9.5144
277°	-8.1443
278°	-7.1154
279°	-6.3138
280°	-5.6713
281°	-5.1446
282°	-4.7046
283°	-4.3315
284°	-4.0108
285°	-3.7321
286°	-3.4874
287°	-3.2709
288°	-3.0777
289°	-2.9042
290°	-2.7475
291°	-2.6051
292°	-2.4751
293°	-2.3559
294°	-2.246
295°	-2.1445
296°	-2.0503
297°	-1.9626
298°	-1.8807
299°	-1.804
300°	-1.7321
301°	-1.6643
302°	-1.6003
303°	-1.5399
304°	-1.4826
305°	-1.4281
306°	-1.3764
307°	-1.327
308°	-1.2799
309°	-1.2349
310°	-1.1918
311°	-1.1504
312°	-1.1106
313°	-1.0724
314°	-1.0355
315°	-1
316°	-0.9657
317°	-0.9325
318°	-0.9004
319°	-0.8693
320°	-0.8391
321°	-0.8098
322°	-0.7813
323°	-0.7536
324°	-0.7265
325°	-0.7002
326°	-0.6745
327°	-0.6494
328°	-0.6249
329°	-0.6009
330°	-0.5774
331°	-0.5543
332°	-0.5317
333°	-0.5095
334°	-0.4877
335°	-0.4663
336°	-0.4452
337°	-0.4245
338°	-0.404
339°	-0.3839
340°	-0.364
341°	-0.3443
342°	-0.3249
343°	-0.3057
344°	-0.2867
345°	-0.2679
346°	-0.2493
347°	-0.2309
348°	-0.2126
349°	-0.1944
350°	-0.1763
351°	-0.1584
352°	-0.1405
353°	-0.1228
354°	-0.1051
355°	-0.0875
356°	-0.0699
357°	-0.0524
358°	-0.0349
359°	-0.0175
360°	0

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Чему равен тангенс 30? …

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.5774

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

🎥 Видео