Как вычислить градус окружности

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.

Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.

Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Тангенс угла

Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:

Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):

Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:

С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:

Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:

Это значит, что справедлива формула:

С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:

Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):

Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.

Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:

Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:

Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.

Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.

В частности, тангенс не определен при х = – π/2.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30^circ =frac<sqrt>)Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60^circ ) и ( displaystyle 45^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:( displaystyle sin 30^circ =cos 60^circ )( displaystyle sin 60^circ =cos 30^circ )Тогда так как ( displaystyle sin 30^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30^circ =frac<sqrt>), то и ( displaystyle sin 60^circ =frac<sqrt>).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:( displaystyle si<^>45^circ +co<^>45^circ =2si<^>45^circ =1)( displaystyle si<^>45^circ =co<^>45^circ =1/2)Откуда: ( displaystyle sin 45^circ =cos 45^circ =sqrt=frac<sqrt>)

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0^circ =0), ( displaystyle cos 0^circ =1), ( displaystyle sin 90^circ =1), ( displaystyle cos 90^circ =0).Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle textg alpha =frac), ( displaystyle ctg alpha =frac)Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

( displaystyle ctg 0=frac=frac=. )Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle <_>), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle <_>) и ( displaystyle <_>).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Два случая, когда тригонометрическая окружность может пригодиться для решения уравнений

• В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
• В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы: «Тригонометрические уравнения»

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Например здесь:

Решите уравнение: ( displaystyle 8co<^>x-10co<^>x+3=0)

Решение:

Ну что же. Решить само уравнение несложно.

Замена ( displaystyle t=co<^>x).

( displaystyle cosx=frac<sqrt>) или ( displaystyle cosx=-frac<sqrt>)

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям!

Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней?!

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Связь между градусами и радианами

Чтобы установить связь между градусами и радианами, необходимо узнать градусную и радианную меру какого-либо угла. Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла необходимо длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π · r . Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π · r r = π рад.

Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180 ° . Следовательно 180 ° = π рад.

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

1 р а д = 180 π ° — градусная мера угла в 1 радиан равна 180 π .

Также можно выразить один градус в радианах.

1 ° = π 180 р а д

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

1 р а д = 180 π ° = 180 3 , 1416 ° = 57 , 2956 °

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

1 ° = π 180 р а д = 3 , 1416 180 р а д = 0 , 0175 р а д

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

x р а д = х · 180 π °

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Пусть α = 3 , 2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

3 , 2 р а д = 3 , 2 · 180 π ° ≈ 3 , 2 · 180 3 , 14 ° ≈ 576 3 , 14 ° ≈ 183 , 4 °

Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

Формула перевода из градусов в радианы

y ° = y · π 180 р а д

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

Видео:72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

📺 Видео

+Как найти длину окружностиСкачать

Перевод радиан в градусы (видео 12) |Окружность и Круг | ГеометрияСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать