Задача: как разрезать треугольник двумя разрезами на три четырёхугольника и треугольник. Задача на смекалку — справится даже первоклассник, но если нужно обоснование решения, то тут придется порассуждать.
- Решение задачи про треугольник
- Разрезание и складывание фигур
- Разрезание и складывание фигур
- С листом клетчатой бумаги при помощи ножниц можно решить множество самых разнообразных и интересных задач. Эти задачи не только интересны или забавны. В них заключается часто практическое разрешение и доказательство иногда очень сложных геометрических вопросов.
- Начнем с главного правила разрезания и складывания: Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разбить (разрезать) на некоторые другие многоугольники, из которых затем можно составить второй многоугольник.
- Равносоставленные многоугольники, конечно, имеют одинаковую площадь (равновелики), и поэтому свойство равносоставленности позволяет иногда получить формулы для вычисления площадей или сравнивать площади фигур (как говорят, методом разбиения или разложения). Примером является сравнение (вычисление) площадей параллелограмма и прямоугольника.
- Общий вопрос о равносоставленности двух многоугольников далеко не простой. Существует удивительная теорема, в которой утверждается, что из любого данного многоугольника, посредством разрезания его на части, может быть сконструирован любой другой многоугольник той же площади.
- В этой теореме речь идет о так называемых простых многоугольниках. Простой многоугольник – это такой многоугольник, у которого граница состоит из одной замкнутой линии без самопересечений, и в каждой вершине этой ломаной сходится ровно два ее звена. Важным свойством простого многоугольника является тот факт, что он имеет, по крайней мере, одну внутреннюю диагональ.
- Равносоставленными являются треугольник и прямоугольник. (рисунок 2).
- Равносоставленными являются прямоугольник и равновеликий ему квадрат (рисунок 3).
- Заметим, что для допустимого превращения прямоугольника в квадрат нам (рисунок 3) понадобилось разбить его на три части. Однако это разбиение не является единственным. Можно, например, привести пример разбиения прямоугольника на четыре части (рисунок 4).
- Вопрос о том, какое наименьшее число разрезов достаточно, чтобы сконструировать из одной фигуры другую, остается открытым и по сегодняшний день.
- Задача 1.
- У одной женщины был прямоугольный коврик размером 27 на 36 дюймов два противоположных его угла истрепались (рисунок 5) и их пришлось отрезать, но она хотела именно прямоугольный коврик. Она дала эту работу мастеру и он справился. Каким путем он это сделал?
- Решение задачи видно из рисунка 6.
- Если зубчатую часть A вынуть из зубчатой части B и затем снова вдвинуть ее между зубьев части B, переместив на один зуб вправо, то получится желанный прямоугольник.
- Задача 2.
- Как из пяти одинаковых квадратов путем разрезания составить квадрат.
- Как показано на рисунке 7, четыре квадрата нужно разрезать на треугольник и трапецию. Четыре трапеции приложить к сторонам пятого квадрата и, наконец, приложим треугольники катетами к основаниям трапеций.
- Задача 3.
- Разрезать квадрат на семь таких частей, чтобы, сложив их, получить три равных квадрата. (Рисунки 8, 9)
- Задача 4.
- Разрезать квадрат на восемь частей так, чтобы сложив их, получить два квадрата, один из которых вдвое меньше другого.
- Из рисунка 10 видно, как нужно разрезать квадрат. Решение схоже с решением предыдущей задачи. На рисунке 11 показано, как нужно сложить части, чтобы получить два искомых квадрата.
- Обучающий тур
- Развертки каких тел изображены на рисунках? Выполните чертежи по рисункам, склейте их так, чтобы получилось геометрическое тело.
- 1)2) 3) 4)5) 6)
- 7) 8)
- 📹 Видео
Видео:Как разрезать треугольник по двум прямым на три части, из которых можно сложить прямоугольник?Скачать
Решение задачи про треугольник
Для того, чтобы разрезать треугольник двумя разрезами на три четырехугольника и 1 треугольник нужно понять, что мы не можем разрезать треугольник лучами, исходящими из его вершин, потому что тогда для четырехугольников вершин будет недостаточно. Четырехугольники образованы двумя лучами, значит, каждые две стороны должны быть у них общими с соседними четырехугольниками. Таким образом общими будут 5 вершин. И три вершины — вершины треугольника. Всего получится 8 точек пересечения, одна из которых внутри треугольника, четыре на его сторонах и три — вершины треугольника. Таким образом, нарисовать такой способ разрезания треугольника двумя разрезами можно так:
Разрезать треугольник можно так
Или разрезать треугольник можно так
Или еще так можно разрезать треугольник
Главное, чтобы лучи не выходили из вершин, а давали нам дополнительные вершины для четыреухгольников. Для этого они должны пересекать стороны треугольника.
Любая из этих трех картинок — правильная. И можно нарисовать множество вариаций.
Видео:Задача на логику как разрезать на две части и получить квадрат?Скачать
Разрезание и складывание фигур
Разрезание и складывание фигур
С листом клетчатой бумаги при помощи ножниц можно решить множество самых разнообразных и интересных задач. Эти задачи не только интересны или забавны. В них заключается часто практическое разрешение и доказательство иногда очень сложных геометрических вопросов.
Начнем с главного правила разрезания и складывания: Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разбить (разрезать) на некоторые другие многоугольники, из которых затем можно составить второй многоугольник.
Равносоставленные многоугольники, конечно, имеют одинаковую площадь (равновелики), и поэтому свойство равносоставленности позволяет иногда получить формулы для вычисления площадей или сравнивать площади фигур (как говорят, методом разбиения или разложения). Примером является сравнение (вычисление) площадей параллелограмма и прямоугольника.
Общий вопрос о равносоставленности двух многоугольников далеко не простой. Существует удивительная теорема, в которой утверждается, что из любого данного многоугольника, посредством разрезания его на части, может быть сконструирован любой другой многоугольник той же площади.
В этой теореме речь идет о так называемых простых многоугольниках. Простой многоугольник – это такой многоугольник, у которого граница состоит из одной замкнутой линии без самопересечений, и в каждой вершине этой ломаной сходится ровно два ее звена. Важным свойством простого многоугольника является тот факт, что он имеет, по крайней мере, одну внутреннюю диагональ.
 |
Равносоставленными являются прямоугольник и равновеликий ему параллелограмм (рисунок 1), а также два квадрата равносоставленные с квадратом, площадь которого равна сумме их площадей (рисунки 10, 11).
Равносоставленными являются треугольник и прямоугольник. (рисунок 2).
Равносоставленными являются прямоугольник и равновеликий ему квадрат (рисунок 3).
 |
Заметим, что для допустимого превращения прямоугольника в квадрат нам (рисунок 3) понадобилось разбить его на три части. Однако это разбиение не является единственным. Можно, например, привести пример разбиения прямоугольника на четыре части (рисунок 4).
Вопрос о том, какое наименьшее число разрезов достаточно, чтобы сконструировать из одной фигуры другую, остается открытым и по сегодняшний день.
Задача 1.
У одной женщины был прямоугольный коврик размером 27 на 36 дюймов два противоположных его угла истрепались (рисунок 5) и их пришлось отрезать, но она хотела именно прямоугольный коврик. Она дала эту работу мастеру и он справился. Каким путем он это сделал?
Решение задачи видно из рисунка 6.
Если зубчатую часть A вынуть из зубчатой части B и затем снова вдвинуть ее между зубьев части B, переместив на один зуб вправо, то получится желанный прямоугольник.
Задача 2.
Как из пяти одинаковых квадратов путем разрезания составить квадрат.
Как показано на рисунке 7, четыре квадрата нужно разрезать на треугольник и трапецию. Четыре трапеции приложить к сторонам пятого квадрата и, наконец, приложим треугольники катетами к основаниям трапеций.
Задача 3.
Разрезать квадрат на семь таких частей, чтобы, сложив их, получить три равных квадрата. (Рисунки 8, 9)
Задача 4.
Разрезать квадрат на восемь частей так, чтобы сложив их, получить два квадрата, один из которых вдвое меньше другого.
Из рисунка 10 видно, как нужно разрезать квадрат. Решение схоже с решением предыдущей задачи. На рисунке 11 показано, как нужно сложить части, чтобы получить два искомых квадрата.
Обучающий тур
Задачи для самостоятельного решения командами «младшей» возрастной группы
Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь — опускается на 4 м. За какое время улитка доберётся от подножья до вершины столба?
Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?
Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?
Бублик режут на сектора. Сделали 10 разрезов. Сколько получилось кусков?
На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько получилось кусков?
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и остались закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы?
Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4,5, 6, 7 частей?
На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?
Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?
На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?
Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома длиннее, чем лестница на второй этаж этого же дома?
У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22× 15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3× 5. Как это сделать?
В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму».
У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9 ×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1 ×8. Иван-царевич очень расстроился, и хотел было отрезать ещё кусочек 1 × 4, чтобы получился прямоугольник 8 ×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10× 10.
Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?
Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?
На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?
В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?
Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т. е. имела общие участки границы) с тремя другими?
Задача 19
Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины A и B верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой.
Какая часть нижнего листка больше — закрытая или открытая?
Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у 4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?
Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну линию?
Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10 ×10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?
Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?
На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.
Около каждой вершины треугольника напишите какие-нибудь числа, возле каждой стороны треугольника напишите сумму чисел, стоящих на концах этой стороны. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Как вы думаете, почему получились одинаковые суммы?
Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?
Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.
Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?
Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырехугольника. А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?
Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.
— Знаю, — говорит, — я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути—прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.
— Нет,— отвечал Иван-царевич, — если всё так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.
Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?
Придумайте раскраску граней кубика, чтобы в трёх различных положениях он выглядел, как показано на рисунке. (Укажите, как раскрасить невидимые грани, или нарисуйте развёртку.)
Задача 32
У нумизмата Феди все монеты имеют диаметр не больше 10 см. Он хранит их в плоской коробке размером 30 см * 70 см (в один слой). Ему подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что все монеты можно уложить в одну плоскую коробку размером 55 см *55 см.
Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.
Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток на четыре части так, чтобы все части были одинакового размера и одинаковой формы и чтобы каждая часть содержала по одному кружку и по одной звёздочке.
Автостоянка в Цветочном городе представляет собой квадрат 7x 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Стоянка обнесена забором, одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Незнайку попросили разместить как можно больше машин на стоянке таким образом, чтобы любая могла выехать, когда прочие стоят. Незнайка расставил 24 машины так, как показано на рис. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.
Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася живет в четвертом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живет Петя.
Предложите способ измерения диагонали обычного кирпича, который легко реализуется на практике (без теоремы Пифагора).
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.
Укажите (нарисуйте!) несколько различных решений. Каждое новое решение — дополнительный балл.
У Пети есть три фигуры, вырезанные из бумаги. Каждая из них с одной стороны белая, а с другой — серая. Какие из пяти прямоугольников, изображенных на рисунке, нельзя сложить из этих фигур? 
Изображенные на рисунке тела состоят из кубиков. Сколько кубиков в каждом из них?
Из фигур на рисунке к задаче выберите те, которые являются развертками куба. Вырежьте их и покажите, как из них склеить куб.
Выберите кубик соответствующий данной развертке.
На видимых гранях куба проставлены числа 1, 2 и 3. А на развертках — два из названных чисел или одно. Расставьте на развертках куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7. 
Пунктирными линиями на рисунке обозначены невидимые ребра куба. Соответственно, сплошными линиями показаны видимые линии. Мы смотрели на куб справа сверху. На рисунках а, б, в, проведите сплошные линии так, чтобы куб был виден
справа снизу; слева сверху; слева снизу.
а) Тетраэдр б) куб разрезали по ребрам, выделенным жирными линиями (см. рисунки) и развернули. Нарисуйте получившиеся развертки.
Развертки каких тел изображены на рисунках? Выполните чертежи по рисункам, склейте их так, чтобы получилось геометрическое тело.
1)
2) 3) 4)5) 6)
2) 
3) 
4)
5) 
6) 
7) 8)
8) 
Задача 48
На стороне AB квадрата ABCD отмечена произвольная точка М (рис.). Докажите, что площадь заштрихованного треугольника равна сумме площадей чёрных треугольников.
Длину прямоугольника увеличили на 1 м, а ширину уменьшили на 1 мм. Могла ли при этом площадь прямоугольника уменьшиться?
Каркас куба с рёбрами длины 1 намазан мёдом. В вершине куба находится жук. Какой минимальный путь он должен проползти, чтобы съесть весь мёд?
Разрежьте каждую фигуру на две одинаковые и по площади и по форме.
📹 Видео
Задача, которая поставила маму первоклассника в тупикСкачать
Задача как разрезать колбасуСкачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать
Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)Скачать
Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части?Скачать
КАРАСЕВ: СБИТЫЙ "ИЛ" - ИГРА НА СРЫВ ПЕРЕГОВОРОВ? РЕШАЮЩИЙ МОМЕНТ: ВОЗДУШНАЯ ВОЙНА и "ЗАМЕРШИЙ" ФРОНТСкачать
Страница 9. Задание 5Скачать
Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Задача, которую боятсяСкачать
Как построить квадрат, два способаСкачать
5-6 классы. Нестандартные задачи: Задачи на разрезание квадрата (Выпуск #20)Скачать
Как строить сечения параллелепипедаСкачать
Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Как строить сеченияСкачать
№53. Три отрезка А1А2 В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину.Скачать
