Как разделить вектор на вектор

Пусть вектор задан координатами своего начала A(a_x; a_y; a_z) и конца B(b_x; b_y; b_z) и пусть точка C(c_x; c_y; c_z) расположена между точка A и B

пусть при этом известно соотношение длин векторов

тогда координаты точки C(c_x; c_y; c_z) находятся по формулам

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Примеры решения заданий по делению векторов и отрезков

Отрезок AB точками C(3, 4) и D(5, 6) разделён на три равные части. Найти координаты точек A и B.

Р е ш е н и е. Обозначим координаты точек A и B так: А(x1, y1), B(x1, y1). Для отрезка AD точка C является серединой, потому λ = AC / CD = 1 и по формулам деления отрезка в данном соотношении

Подставим в последнее равенство координаты x_c, y_c, x_d, y_d:

3 = (x1 + 5)/2, 4 = (y1 + 6)/2,

откуда находим, x₁ = 1, y₁ = 2. Точка A имеет координаты A(1, 2).

Поскольку точка D есть середина отрезка CB, то x_d = (x_c + x₂)/2, или 5 = (3 + x₂)/2, отсюда x₂ = 7.

отсюда y₂ = 8. Получили B(7, 8).

О т в е т: A(1, 2), B(7, 8).

Даны вершины треугольника A(2, -4), B(4, -5) и C(-4, 7). Определить середины его сторон.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой для определения середин сторон отрезка, при известных двух точках:

Поскольку отрезки делятся на равные части, то

Тогда формула приобретает вид:

Координата x для отрезка AB равна (2+4)/2 = 3, координата y для отрезка AB равна (-4-5)/2 = -4,5.

Координата x для отрезка AC равна (2-4)/2 = -1, координата y для отрезка AC равна (-4+7)/2 = 1,5.

Координата x для отрезка BC равна (4-4)/2 = 0, координата y для отрезка BC равна (-5+7)/2 = 1.

О т в е т: искомые точки имеют координаты (3; -4,5), (-1; 1,5) и (0; 1).

Даны три вершины параллелограмма A(2, -4), B(4, -2), C(-2, 4). Определить четвёртую вершину D, противоположную B.

Р е ш е н и е. Найдём точку, в которой пересекаются диагонали параллелограмма.

Назовём точку пересечения диагоналей точкой E.

Поскольку этой точкой диагонали делятся на два равных отрезка

то формула приобретает вид:

Найдём середину отрезка AC:

Итак, точка E имеет координаты (0, 0).

Данная точка также является серединой отрезка BD, поскольку это вторая диагональ параллелограмма. Тогда

подставим известные значения:

Теперь найдём вторую координату:

подставим известные значения:

Даны вершины треугольника A(2, 3); B(4, -10); C(-4, 1), определить длину его медианы, проведённой из вершины B.

Р е ш е н и е. Назовём точку пересечения медианы и стороны AC точкой D. Поскольку медиана делит сторону треугольника пополам, то воспользуемся формулой нахождения координат точки посередине отрезка:

Точка D имеет координаты (-1, 2).

Воспользуемся формулой нахождения длины отрезка, когда известны координаты его крайних точек:

О т в е т: Длина медианы, проведённой из вершины B, равна 13.

Видео:Самопересекающиеся вектора в ArtCam. Как их победить?Скачать

Операции с векторами

Как сложить и перемножить векторы (и зачем).

Мы постепенно показываем вам математику за пределами школьной программы. Начинали со знакомства с векторами, теперь сделаем следующий шаг.

Напомним основные мысли:

• Вектор — это абстрактное понятие, которое представляет собой организованную последовательность каких-то чисел.
• В виде вектора можно представить координаты предмета в каком-то пространстве; площадь квартиры и её стоимость; цифровые данные анкеты какого-то человека и динамику цен на нефть.
• Если по-простому, то векторы нужны, чтобы обрабатывать большое количество организованных чисел. Представьте, что вектор — это коробка с конфетами, только вместо конфет — числа. Каждое число стоит в своей ячейке.
• Машинное обучение основано на перемножении матриц, которые, в свою очередь, можно представить как наборы векторов. Так что векторы лежат в глубине всех модных и молодёжных технологий ИИ.

С векторами можно совершать некоторые математические операции. Вот о них и поговорим.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Правильно — векторы

Математики часто говорят во множественном числе «вектора», но по словарю правильно «векторы». Это такой профессиональный жаргон, как «договора», «бухгалтера» и «сервера». Мы будем использовать «векторы», но если вы окажетесь в постковидном математическом баре, лучше говорите «вектора».

Видео:ArtCam 2018 - отрезаем кусок вектора в любом месте.Скачать

Сложение

Представим четыре вектора, которые лежат в двухмерном пространстве и пока что не связаны между собой. Нарисуем эти векторы и обозначим их буквами X, Y, Z, K.

Поскольку векторы находятся в одном пространстве, координаты каждого состоят из одинакового количества чисел. У нас пример с двухмерным пространством и два числа. Выглядеть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).

Векторы X, Y, Z, K в двухмерном пространстве

Если у нас несколько векторов с одинаковым количеством чисел, то эти числа можно поэлементно складывать. Для этого мы берём первое число одного вектора, складываем его с первым числом другого вектора и так далее.

Предположим, нам нужно сложить векторы X и Y.

X = (6, 4)
Y = (3, −2)
X + Y = (9, 2)

Вроде просто: складываешь последовательно все координаты, результаты сложения складываешь в исходные коробочки. Так можно делать с любым количеством координат. Помните, что вектор — это необязательно стрелка в двумерном пространстве. Она может быть и в десятимерном пространстве — с точки зрения математики это неважно.

Например, вот сложение векторов с пятью координатами:

X = (6, 4, 11, 14, 99)
Y = (3, -2, 10, -10, 1)
X + Y = (9, 2, 21, 4, 100)

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Интуитивное изображение сложения

Для интуитивного восприятия удобно использовать векторы с двумя координатами. Их удобно рисовать на координатной плоскости и таким образом смотреть на геометрию.

Например, можно на плоскости показать, как будет работать сложение двух векторов. Для этого есть два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Метод треугольника: ставим векторы Х и Y в очередь друг за другом. Для этого берём вектор Х, ставим за ним вектор Y и получаем новый вектор. Новый вектор начинается в хвосте вектора Х и заканчивается на стрелке вектора Y. Этот вектор — результат сложения. Представьте, что это ребёночек двух векторов.

Сложение векторов по методу треугольника: X = (6, 4); Y = (3, −2); Х + Y = (9, 2)

Чтобы воспользоваться методом параллелограмма, нам нужно поставить векторы Х и Y в одну исходную точку. Дальше мы дублируем векторы Х и Y, формируем параллелограмм и получаем новый вектор. В новом векторе соединяем исходную точку с исходной точкой дублирующих векторов — стрелка проходит посередине параллелограмма. Длина нового вектора — это сумма векторов Х и Y.

Сложение по методу параллелограмма и треугольника даёт одинаковый результат. Поэтому выбирайте вариант, который больше подходит под задачу.

Сложение векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); Y = (3, -2); Х + Y = (9, 2)

Видео:Единичный векторСкачать

Вычитание

Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой: Х + (−Y)

Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так:

1. У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2).
2. Превращаем формулу Х − Y в формулу Х + (−Y).
3. Разворачиваем вектор Y. Было: Y = (3, −2). Стало: −Y = (−3, 2).
4. Считаем: X + (−Y) = (3, 6).

Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:

Вычитание векторов по методу треугольника: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6) Вычитание векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Длина вектора

Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.

Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков:

X = 6 − 2 = 4
Y = 5 − 2 = 3

Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:

|C|2 = 42 + 32 = 25
|C| = √25 = 5 Длина вектора считается по формуле прямоугольного треугольника. Чтобы было проще представить — перенесите векторы на систему координат

Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы.

В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Умножение и деление вектора на число

Умножение и деление позволяют изменить длину и направление вектора. Если мы умножим вектор Х на три, то увеличим его длину в три раза. Если умножим на минус три — увеличим длину и изменим его направление на противоположное.

Умножение вектора на число

Для деления сохраняются аналогичные правила. Делим вектор Х на три и сокращаем длину в три раза. Делим на минус три — сокращаем и разворачиваем.

Деление вектора на число

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Да вроде несложно!

Пока ничего сложного. Но если углубляться, вы узнаете, что:

• векторы можно умножать на векторы тремя способами в зависимости от задачи и от того, что мы понимаем под умножением;
• если от векторов перейти к матрицам, то перемножение матриц имеет несколько более сложную и довольно неинтуитивную математику;
• а перемножение матриц — это и есть машинное обучение.

Видео:Проекция вектора на вектор.Скачать

Что дальше

В следующей статье рассмотрим линейную зависимость векторов. Чтобы не скучать — посмотрите интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия сеньор-дата-сайентист в Росбанке и по совместительству блогер с интересной историей.

Видео:Объединить векторы в арткамеСкачать

Как разделить вектор на вектор

Получите бесплатный курс по основам математики. Эти знания необходимы для решения задач по физике.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Векторная алгебра с нуля!

Получите бесплатный курс по Векторной алгебре. Он необходим для решения задач по физике.

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

Видео:2 37 Нахождение орта вектораСкачать

Векторы. Задачи. Покажем, что операция деления на вектор неоднозначна

Задача 2. Покажем, что операция деления на вектор неоднозначна, поэтому она просто не интересна и нигде не применяется.

Вначале рассмотрим скалярное произведение векторов a и b. Это произведение дает число с: ab = c. Иначе, ab = ab·Cos α. Посмотрите внимательно на последнюю формулу. Что такое b·Cos α? Ведь это ни что иное, как проекция вектора b на направление вектора а! (или, если хотите, на ось, направленную вдоль вектора а). То есть это – какое-то число, по величине равное длине отрезка, например, MN (рис. 20).

Но самое интересное состоит в том, что это же самое число получится, если мы умножим модуль какого-то другого вектора, например, b₁ на косинус угла α₁, то есть b·Cosα = b₁Cos α₁. Другими словами, векторов, имеющих ту же самую проекцию, существует великое множество! Вот и получается, что, если мы поделим скалярное произведение (то есть число с) на вектор а, то мы не обязательно получим вектор b.

Этой операции будет удовлетворять бесчисленное количество других векторов! Потому и говорят, что операция деления скаляра на вектор не однозначна. Нужна Вам такая операция, которая вместо ожидаемого вектора b даст Вам все, что угодно (а, точнее, что нам совсем не угодно)? Нет, такая операция нам не нужна.

Теперь рассмотрим векторное произведение тех же векторов. Это произведение дает вектор с: c = a×b. Модуль этого вектора с = аb·Sin α. И здесь мы можем найти вектор b₁ , для которого и b₁Sin α₁ будет равно b·Sin α и вектор a×b₁ будет направлен также, как и вектор с. Не будем делать рисунок: ситуация уж очень простая. И тут тоже получается, что, если мы поделим вектор с на вектор а, то не обязательно получим вектор b, а получим мы такой веер различных векторов, что, как говорится, мало не покажется. Нет, и такая операция нам не нужна!

Можно и по-другому подойти к этому вопросу. Когда мы делим одну величину на другую, мы сравниваем эти величины по признаку «больше – меньше», а для векторов, как мы раньше выяснили, это бессмысленно.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ
Эти книги должен иметь каждый старшеклассник, абитуриент и студент!

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

🎦 Видео

Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ArtCam 2017. Обрезка векторовСкачать