Выяснить разлагается ли вектор b по системе векторов a1 a2 an (2 видео)

Разложить вектор по базису онлайн

Любой вектор некоторого -мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов этого -мерного пространства и при том единственным образом.

Разложение произвольного -мерного вектора по базису, образованному линейно-независимой системой -мерных векторов выглядит следующим образом:

, где &#x2212 некоторые числа, являющиеся коэффициентами разложения (линейной комбинации) вектора по базису .

Наш онлайн калькулятор найдет разложение вектора по базису с подробным решением на русском языке.

Содержание

Разложение вектора по базису
Принцип разложения вектора
Пример задачи
Математика (стр. 8 )
📹 Видео

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Разложение вектора по базису

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно разложить вектор по двум базисным векторам, а также разберем пример решения задачи по этой теме.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Принцип разложения вектора

Для того, чтобы разложить вектор b по базисным векторам , требуется определить такие коэффициенты , при которых линейная комбинация векторов равняется вектору b , то есть:

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Пример задачи

Разложим вектор по двум базисным векторам и .

Решение:

1. Векторное уравнение выглядит так:

3. Теперь нужно решить систему. Из второго уравнения получаем:
.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение:
2 · (1 + 3y) + y = 16
2 + 6y + y = 16
7y = 14
y = 2

Следовательно, x = 1 + 3y = 1 + 2 · 2 = 7 .

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Математика (стр. 8 )

Выяснить разлагается ли вектор b по системе векторов a1 a2 an

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Построение общего решения с помощью формул Крамера:

1. Выяснить совместность данной системы уравнений, т. е. выяснить, совпадают ли ранги матрицы и расширенной матрицы системы уравнений.

2. Найти один из миноров матрицы А системы уравнений, порядок которого равен рангу А.

3. Выписать все уравнения данной системы, которые содержат строки минора М. В этих уравнениях оставить в левых частях только те неизвестные, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенести в правую часть.

4. Решить систему уравнений, полученную в пункте 3, по формулам Крамера.

Метод Гаусса состоит из ряда шагов. При выполнении очередного шага используют следующий алгоритм.

Построение общего решения методом Гаусса:

1. Проверить, имеется ли в системе противоречивое уравнение. Если такое уравнение в системе есть, то она несовместна и не имеет общего решения.

2. Вычеркнуть все тривиальные уравнения в системе, если они есть.

3. Выяснить, является ли система уравнений разрешенной. Если она разрешенная, то построить общее решение, выражая разрешенные неизвестные через свободные.

4. Найти уравнение в системе, не содержащее разрешенного неизвестного. С помощью элементарных преобразований получить в этом уравнении неизвестное с коэффициентом единица, а затем исключить это неизвестное из остальных уравнений системы.

5. Выполнить следующий шаг, т. е. перейти к выполнению пункта 1. Через конечное число шагов процесс остановится и будет установлена несовместность системы или получено общее решение системы линейных уравнений.

6.2. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

Решение. 1. Выпишем расширенную матрицу, найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы системы уравнений:

Итак, ранги матрицы и расширенной матрицы совпадают и равны 2. Следовательно, система совместна

2. Выберем минор М = , составленный из коэффициентов при неизвестных x1 и х2 первого и третьего уравнений. Этот минор отличен от нуля и его порядок равен рангу матрицы системы.

3. Выпишем первое и третье уравнения данной системы, которые содержат строки минора М:

В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные х1 и х2, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенесем в правую часть:

4. Решим полученную систему по формулам Крамера:

– общее решение данной системы

Неизвестные х3 и х4 – свободные неизвестные. Если положить х3 = 1, х4 = 0, то из общего решения находим x1 = 3, х2 = –1. Следовательно, x1 = 3, x2 = –1, х3 = 1, х4 = 0 – частное решение исходной системы уравнений.

7. СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ И УРАВНЕНИЙ

Система линейных уравнений:

в векторной форме имеет вид:

где А1 = , A2 = , …., An = , B = – столбцы коэффициентов при неизвестных х1, х2, . хn и столбец свободных членов.

Последовательность чисел k1, k2, . kn является решением системы уравнений тогда и только тогда, когда справедливо векторное равенство

7.1. Разложение вектора по системе векторов

Вектор k1А1 + k2А2 + . + knАn называется линейной комбинацией векторов А1, А2, . Аn с коэффициентами k1, k2, . kn.

Вектор В линейно выражается через векторы А1, А2, Аn, если

В этом случае говорят также, что В разлагается по векторам А1, А2, . Аn. Каждый n-мерный вектор В = (b1, b2, . bn) разлагается по диагональной системе: