Любой вектор некоторого -мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов этого -мерного пространства и при том единственным образом.
Разложение произвольного -мерного вектора по базису, образованному линейно-независимой системой -мерных векторов выглядит следующим образом:
, где − некоторые числа, являющиеся коэффициентами разложения (линейной комбинации) вектора по базису .
Наш онлайн калькулятор найдет разложение вектора по базису с подробным решением на русском языке.
Разложение вектора по базису
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно разложить вектор по двум базисным векторам, а также разберем пример решения задачи по этой теме.
Принцип разложения вектора
Для того, чтобы разложить вектор b по базисным векторам , требуется определить такие коэффициенты , при которых линейная комбинация векторов равняется вектору b , то есть:
Пример задачи
Разложим вектор по двум базисным векторам и .
Решение:
1. Векторное уравнение выглядит так:
3. Теперь нужно решить систему. Из второго уравнения получаем:
.
Подставляем полученное выражение в первое уравнение:
2 · (1 + 3y) + y = 16
2 + 6y + y = 16
7y = 14
y = 2
Следовательно, x = 1 + 3y = 1 + 2 · 2 = 7 .
Математика (стр. 8 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
Построение общего решения с помощью формул Крамера:
1. Выяснить совместность данной системы уравнений, т. е. выяснить, совпадают ли ранги матрицы и расширенной матрицы системы уравнений.
2. Найти один из миноров матрицы А системы уравнений, порядок которого равен рангу А.
3. Выписать все уравнения данной системы, которые содержат строки минора М. В этих уравнениях оставить в левых частях только те неизвестные, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенести в правую часть.
4. Решить систему уравнений, полученную в пункте 3, по формулам Крамера.
Метод Гаусса состоит из ряда шагов. При выполнении очередного шага используют следующий алгоритм.
Построение общего решения методом Гаусса:
1. Проверить, имеется ли в системе противоречивое уравнение. Если такое уравнение в системе есть, то она несовместна и не имеет общего решения.
2. Вычеркнуть все тривиальные уравнения в системе, если они есть.
3. Выяснить, является ли система уравнений разрешенной. Если она разрешенная, то построить общее решение, выражая разрешенные неизвестные через свободные.
4. Найти уравнение в системе, не содержащее разрешенного неизвестного. С помощью элементарных преобразований получить в этом уравнении неизвестное с коэффициентом единица, а затем исключить это неизвестное из остальных уравнений системы.
5. Выполнить следующий шаг, т. е. перейти к выполнению пункта 1. Через конечное число шагов процесс остановится и будет установлена несовместность системы или получено общее решение системы линейных уравнений.
6.2. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:
Решение. 1. Выпишем расширенную матрицу, найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы системы уравнений:
Итак, ранги матрицы и расширенной матрицы совпадают и равны 2. Следовательно, система совместна
2. Выберем минор М = , составленный из коэффициентов при неизвестных x1 и х2 первого и третьего уравнений. Этот минор отличен от нуля и его порядок равен рангу матрицы системы.
3. Выпишем первое и третье уравнения данной системы, которые содержат строки минора М:
В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные х1 и х2, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенесем в правую часть:
4. Решим полученную систему по формулам Крамера:
– общее решение данной системы
Неизвестные х3 и х4 – свободные неизвестные. Если положить х3 = 1, х4 = 0, то из общего решения находим x1 = 3, х2 = –1. Следовательно, x1 = 3, x2 = –1, х3 = 1, х4 = 0 – частное решение исходной системы уравнений.
7. СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ И УРАВНЕНИЙ
Система линейных уравнений:
в векторной форме имеет вид:
где А1 = 
, A2 = 
, …., An = 
, B = 
– столбцы коэффициентов при неизвестных х1, х2, . хn и столбец свободных членов.
Последовательность чисел k1, k2, . kn является решением системы уравнений тогда и только тогда, когда справедливо векторное равенство
7.1. Разложение вектора по системе векторов
Вектор k1А1 + k2А2 + . + knАn называется линейной комбинацией векторов А1, А2, . Аn с коэффициентами k1, k2, . kn.
Вектор В линейно выражается через векторы А1, А2, Аn, если
В этом случае говорят также, что В разлагается по векторам А1, А2, . Аn. Каждый n-мерный вектор В = (b1, b2, . bn) разлагается по диагональной системе:
с коэффициентами, которые равны координатам вектора В:
Разложения вектора В по системе А1, А2, . An
называются различными, если ki = li, хотя бы при одном значении i, 1 
i n.
Чтобы найти разложение вектора В по системе векторов А1, А2, . Аn достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений:
7.1. Выяснить, разлагается ли вектор В по системе векторов А1, А2, . Аn:
В = (2, 7, 17, 0), А1 = (2, 4, 3, 0), А2 = (–3, 0, 1, 3), А3 = (1, –1, 10, –3).
Решение. Найдем общее решение системы уравнений: