Окружность высекает на всех сторонах трапеции равные отрезки (7 видео)

Окружность высекает на всех сторонах трапеции равные отрезки

Задание 16. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках K и L так, что АК = 13, KL = 6, LB = 1.

а) ABCD – трапеция, BL – биссектриса, следовательно, . Так как AD параллельна BC, то и , следовательно, угол ALB=90° и BL перпендикуляра AC.

Аналогично доказывается, что CL перпендикулярна BD. Получаем, что диагонали BD и AC перпендикулярны и в то же время являются биссектрисами углов. Следовательно, трапеция ABCD – это ромб, а у ромба биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.

б) Задача сводится к нахождению высоты ромба. Рассмотрим равнобедренный треугольник OLK, т.к. OL=OK как радиусы одной окружности.

Далее, , следовательно, OH – медиана и LH=KH:

Так как OH – высота прямоугольного треугольника OAB, то

Видео:Геометрия Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хордыСкачать

Окружность высекает на всех сторонах трапеции равные отрезки

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.

a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.

б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,

Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем:

Приведем решение Максима Волкова.

Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Тогда

Проведем отрезки АО и ОВ. Заметим, что треугольник AOB прямоугольный, так как АО и ВО — биссектрисы углов трапеции при боковой стороне. Тогда по свойству высоты прямоугольного треугольника находим:

Следовательно, для высоты трапеции получаем:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 520805: 520917 520855 520881 Все

Видео:Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать

Задание 16. ЕГЭ. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

Задание. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так,

что АК = 19, КL = 12, LВ = 3.

Решение:

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

Если хорды в окружности равны, то они равноудалены от центра окружности.

Это можно доказать, рассмотрев, например, треугольники ΔOKL и ΔОMN:

MN = KL, OL = OM = R, OK = ON = R.

Следовательно, ΔOKL = ΔОMN, а, значит, высоты этих треугольников также будут равны. Аналогично доказывается и с другими хордами.

Т. е. расстояние от центра окружности до всех хорд, а также до сторон трапеции будет одинаково.

Точка О лежит внутри угла ∠BAD и равноудалена от сторон этого угла, значит, по теореме о биссектрисе угла, точка О лежит на биссектрисе АО угла ∠BAD. Получим, ∠1 = ∠2.

Аналогично, ОВ, ОС и ОD – биссектрисы углов трапеции. Получим, что точка О лежит на каждой из четырех биссектрис, значит, и все биссектрисы трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что АК = 19, КL = 12, LВ = 3.