Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A1, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C1.
б) Известно, что 
Найдите B1C1.
а) Углы A1BC и A1AC равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,
б) Вычислим угол B:
таким образом, 
По теореме синусов имеем:
где R — это радиус описанной около треугольника A1B1C1. окружности и 2R = AB.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы углаОпределение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части. Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно, что и требовалось доказать. Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать. Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла. Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны. Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно что и требовалось доказать. Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны. Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).
Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство: Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство: Следовательно, справедливо равенство: откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .
Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольникФормулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.
где 
где Равнобедренный треугольник | 
Равносторонний треугольник | 
где Прямоугольный треугольник | 
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольникТеорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности,
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось. Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).
то, в случае равнобедренного треугольника, когда
что и требовалось. Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
то, в случае равностороннего треугольника, когда
что и требовалось. Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник. Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно, В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось. Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник. Задача 27865 9.25. Найдите острые углы прямоугольного.Условие
9.25. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит биссектрису прямого угла в отношении sqrt(3):sqrt(2), считая от вершины. Решение
Пусть ВС=а; АС=b По теореме Пифагора для треугольника АВС tg альфа =a/b=2-sqrt(3) или tg альфа =2+sqrt(3) альфа =15 градусов; бета =75 градусов так как =(tg 30 градусов + tg 45 градусов)/(1-tg30 градусов*tg 45 градусов)=((sqrt(3)/3)+1)/(1-sqrt(3)/3)= | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
.
