Как разделить четырехугольник на две равные части

Математика | 5 — 9 классы

Разделите четырехугольник на две равные части одной прямой линией.

Именно так ) Мучилась полчаса.

Видео:Задача на логику как разрезать на две части и получить квадрат?Скачать

Раздели прямоугольник отрезком на две равные части так, чтобы каждая из частей была четырехугольником с двумя прямыми углами?

Раздели прямоугольник отрезком на две равные части так, чтобы каждая из частей была четырехугольником с двумя прямыми углами.

Видео:Разрежь на две равные части и получи квадратСкачать

В четырехугольнике провести две линии чтобы получить три треугольника и три четырехугольника?

В четырехугольнике провести две линии чтобы получить три треугольника и три четырехугольника.

Видео:Делим четырехугольник на две равные частиСкачать

Разделить шестиугольник на 4 части ОДНОЙ ПРЯМОЙ линией?

Разделить шестиугольник на 4 части ОДНОЙ ПРЯМОЙ линией.

Видео:Разделите фигуру на 4 равные части ➜ Олимпиадная математикаСкачать

Как разделить прямой линией циферблат часов так, чтобы суммы чисел в этих частях были равными?

Как разделить прямой линией циферблат часов так, чтобы суммы чисел в этих частях были равными.

Видео:Деление отрезка на 2,4,8 равных частей с помощью циркуля и линейкиСкачать

Раздели 64 на две части чтобы одна была в 7 раз больше — — — — ?

Раздели 64 на две части чтобы одна была в 7 раз больше — — — — .

Раздели 96 на две части чтобы одна сторона была в 7 раз больше другой — — — — .

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Можно ли четырехугольник одним прямым разрезом разделить на два пятиугольника ?

Можно ли четырехугольник одним прямым разрезом разделить на два пятиугольника ?

Видео:9 Разрезание на две конгруэнтные частиСкачать

Раздели фигуру на две равные части ломаной линией?

Раздели фигуру на две равные части ломаной линией.

Видео:[Интересные задачи] Разрезать фигуру на 4 равные частиСкачать

Разделить шестиугольник на 4 части одной линией?

Разделить шестиугольник на 4 части одной линией.

Видео:1 2 2 деление окружности на 5 равных частейСкачать

Раздели прямо линией циферблат часов на две части так, чтобы суммы чисел в этих частях были равными?

Раздели прямо линией циферблат часов на две части так, чтобы суммы чисел в этих частях были равными.

Видео:[Интересные задачи] Разрезать фигуру на 4 равные частиСкачать

Число 114 разделите на две части так, чтобы одна часть была равна 0, 2 второй части?

Число 114 разделите на две части так, чтобы одна часть была равна 0, 2 второй части.

Видео:Как разделить 10 литров молока на две равные части? Задача на переливанияСкачать

Разделить прямой линией циферблат часов на 2 равные части так чтобы сумма на обоих частях была одинакова?

Разделить прямой линией циферблат часов на 2 равные части так чтобы сумма на обоих частях была одинакова.

На этой странице находится вопрос Разделите четырехугольник на две равные части одной прямой линией?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 = 39 цифр Ответ : в тетради 24 страницы.

Даже простые крестиане могут иметь большой талант , вне зависимости от положения в обществе .

4x + 2>3x + 1 Меняем местами 3х и 2 Получается 4х — 3х> — 2 + 1 (Знаки меняются из за переноса на противоположные) х> — 1.

10 — 6 = 4 96 — 6 = 90 7 — 6 = 1 100 — 6 = 94 216 — 6 = 210 12 — 6 = 6.

1) 216÷3 = 72 (кг) — вторая бригада 2) 216 + 72 = 288(кг) — первая и вторая бригада 3) 288 — 108 = 180(кг) Ответ. 180 кг.

216 + 216 / 3 + (216 + 216 / 3 — 108) = 216 + 72 + 180 = 468.

(х — 18) + (х — 8) + (х — 3) = 23× — 29 = 23 (29 — сумма 18, 8, 3)× = 29 + 23х = 521)52 : 2 = 26 половина2)26 — 18 = 8 страниц в первый день3)26 — 8 = 18 во воторой день4)26 — 3 = 23 в третий день.

Икс поделить на 39 равно 48 икс равен 39 умножить на 48 икс равен 1872 1872 поделить на 39 равно 48.

X : 39 = 48 x = 48×39 x = 1872.

Подели так : отрежь кусок меньше середины (если яблоко 6 см отрежь 2 см) потом столько же (2 см) и всё.

Видео:Как разделить угол на равные части с помощью циркуляСкачать

Задача о справедливом дележе земельного участка

Задача о справедливом дележе земельного участка

и Иван Никифорович поссорились из-за участка земли, который имел треугольную форму. Никак они не могли взять в толк, как им построить на этом участке прямолинейный забор так, чтобы дележ был справедливым, чтобы земли им досталось поровну. Задача осложнялась еще и тем, что на границе участка росло единственное тенистое дерево, и каждый из них хотел иметь возможность полежать под ним в солнечный день.

Вот перед ними и возникла задача по геометрии.

Задача ( основная ). Можно ли разделить отрезком треугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит внутри стороны треугольника? А если можно, то как это сделать?

Проведем мысленный эксперимент. Зафиксируем точку внутри стороны треугольника и рассмотрим луч с началом в этой точке. Будем мысленно вращать этот луч. Начальное положение такого луча — в одну из вершин треугольника, принадлежащих данной стороне. Финальное положение — в другую вершину этой же стороны. Недалеко от начального положения площадь части данного треугольника, расположенной левее переменного луча, меньше площади части данного треугольника, расположенной правее переменного луча. Недалеко от финального положения площадь части данного треугольника, расположенной левее переменного луча, больше площади части данного треугольника, расположенной правее переменного луча. Следовательно, при определенном положении переменного луча эти площади равны. Остается вопрос — при каком положении?

Подробнее. Возможность нужного нам разбиения можно обосновать из соображений непрерывности в процессе вращения прямой вокруг выбранной точки K внутри стороны BC треугольника ABC. Сначала через точку K проведем прямую, которая пересекает сторону AC треугольника ABC близко от точки C. Ясно, что при таком положении прямой часть площади исходного треугольника, которая находится левее ее, меньше части площади исходного треугольника, которая находится правее ее ( рис. 1а)

По мере вращения этой прямой по часовой стрелке «левая площадь» будет увеличиваться, а правая уменьшаться. Когда прямая окажется вблизи вершины B, часть площади исходного треугольника, которая находится левее ее, больше части площади исходного треугольника, которая находится правее ее ( рис. 1б) .

Значит, в какой-то момент эти площади будут равны.

Компьютерный эксперимент приводит к мысли о том, что это можно сделать всегда. Но вопрос о положении луча остается.

Для начала решим задачи попроще.

Задача 1 ( вспомогательная ). Как разделить отрезком треугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит в вершине треугольника?

Другим концом такого отрезка является середина стороны, противоположной данной вершине ( рис.2 ) .

Пусть ABC — данный треугольник, вершина A — один из концов данного отрезка. Пусть точка M — середина стороны BC, иначе говоря, AM — медиана треугольника. Для доказательства проведем высоту AH в данном треугольнике. Пусть S1 — площадь треугольника ABM, S2 — площадь треугольникаACM. Тогда имеем:

S1 = 0,5 BM · AH, S2 = 0,5 CM · AH. И так как BM = CM, то S1 = S2.

Задача 2 ( вспомогательная ). Как разделить отрезком треугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит в середине стороны треугольника?

Задача решается аналогично предыдущей. Разница лишь в том, что она имеет не одно, а три решения. Этим решением является медиана данного треугольника, а медиан в треугольнике три.

Задача 3 ( вспомогательная ). Дан отрезок AB. По какой линии движется точка X такая, что треугольник AXB имеет одну и ту же площадь?

Ответ. Искомая траектория — прямая, параллельная прямой AB. Таких прямых две.

Задача 4 ( основная )

Пусть ABC — данный треугольник, точка K — один из концов данного отрезка. Для доказательства проведем AK, медиану AM, отрезок ML || AK, KL. Пусть отрезки KL и AM пересекаются в точке P ( рис. 3 ).

Теперь докажем, что площадь четырехугольника BALK равна площади треугольника BAM, то есть половине площади исходного треугольника.

S ( BALK ) = S ( BAPK ) + S ( APL ), S ( BAM ) = S ( BAPK ) + S ( KPM ). Теперь достаточно доказать, что S ( APL ) = S ( KPM ). Для этого заметим, что прямые AK и ML параллельны, а потому перпендикуляры, проведенные из точек M и L на прямую AK, равны. Но тогда равны высоты в треугольниках AKL и AKM. А так как у этих треугольников одно и то же основание AK, то их площади равны: S ( AKL ) = S ( AKM ) . Далее имеем:

S ( APL ) = S ( AKL ) — S ( AKP ), S ( KPM ) = S ( AKM ) — S ( AKP ). Вот и получается, что треугольники APL и KPM равновелики.

Замечание 1. Теперь мы знаем, как разделить площадь треугольника пополам отрезком, один конец которого лежит на стороне треугольника ( в вершине треугольника или внутри стороны ). А как это сделать, если конец отрезка, который делит эту площадь пополам, находится на продолжении стороны треугольника?

Компьютерный эксперимент позволяет убедиться в том, что способ решения, предложенный выше для основной задачи, не проходит.

Однако неформальные соображения непрерывности показывают, что задача должна иметь решение и в этом случае.

Компьютерный эксперимент позволяет убедиться в существовании решения задачи.

Расширение 1. Пусть точка X находится на медиане AM треугольника ABC. Сравните между собой площади треугольников XAC и XAB.

Ответ. Эти площади равны.

S ( XAC ) = S (MAC) — S ( MCX ), S ( XAB ) = S (MAB) — S ( MBX ).

Но S (MAC) = S ( MAB ), S ( MCX ) = S ( MBX ) — это следует из задачи 1. Отсюда получается нужное нам равенство площадей.

Расширение 2. Пусть ABC — данный треугольник, а точка X такова, что треугольники XAC и XAB равновелики. Где находятся все такие точки?

( Вариант задачи: по какой траектории движется точка X такая, что

треугольники XAC и XAB равновелики? )

Множество таких точек — две прямые. Одна из них проходит через медиану AM треугольника ABC за исключением точки А; другая проходит через вершину A и параллельна прямой BC.

Обобщая решение расширения 1, мы можем легко получить, что любая точка X1 или X2 на прямой AM ( кроме точки A ) обладает нужным нам свойством. Это легко видеть из рисунка 5.

Кроме этой прямой, есть еще одна прямая, каждая точка которой

( кроме точки A ) также удовлетворяет условию. Это прямая KL, проходящая через точку A и параллельная прямой BC ( рис. 6 ).

В самом деле, треугольники XBC и XAB равновелики, так как у них общее основание AX и равные высоты — как расстояния между параллельными прямыми.

Осталось доказать, что других точек на плоскости с нужным нам свойством нет.

Для доказательства заметим, что треугольники XAC и XAB имеют общее основание XA, а потому задача сводится к нахождению прямой, равноудаленной от двух данных вершин B, C треугольника ABC. Вообще говоря, эта задача хорошо известна — это как раз две указанные выше прямые, осталось только вспомнить решение этой задачи.

Проведем перпендикуляры из точек B и C на прямую AX. Эти перпендикуляры BB1 и CC1 могут располагаться как с одной стороны от прямой AX, так и с разных сторон от нее. Сообразно этим двум случаям получаем рисунок 7 или рисунок 8.

В первом случае из равенства этих перпендикуляров следует параллельность прямых BC и AX.

Во втором случае из равенства этих перпендикуляров следует равенство прямоугольных треугольников BNB1 и CNC1 ( по катету и острому углу ), откуда и получается равенство отрезков BN и CN, а отсюда уже следует, что точка N — середина стороны BC.

Расширение 3. Как разделить отрезком выпуклый четырехугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит в вершине четырехугольника?

Пусть данная точка находится в вершине A выпуклого четырехугольника ABCD. Проведем диагональ AC и затем через вершину D проведем прямую, параллельную прямой AC до пересечения ее в точке K с прямой BC ( рис

Теперь проведем отрезок AK ( рис.Треугольники ACD и ACK равновелики, так как AC || DK.

Поэтому S ( ABCD ) = S ( ABC ) + S ( ACD ) = S ( ABC ) + S ( ACK ) = S ( ABK ) .

В треугольнике ABK проведем медиану AM ( рис.Теперь видим, что S ( ABM ) = 0,5 S ( ABK ) = 0,5 S ( ABCD ).

Расширение 4. Как разделить отрезком выпуклый четырехугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит внутри стороны четырехугольника?

Пусть данная точка K находится внутри стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD.

Проведем отрезки KB и KC. Затем проведем прямые через точки A и D соответственно параллельные прямым KB и KC. Пусть прямая, проведенная через A пересекает прямую BC в точке A1, а прямая, проведенная через D, пересекает прямую BC в точке D1 ( рис. 12 ).

Соединим теперь точку K с точками A1 и D1 ( рис. 13 ).

Получим треугольник KA1D1, равновеликий данному четырехугольнику ABCD. В самом деле:

S ( ABCD ) = S ( KBC ) + S ( KAB ) + S ( KCD ) = S ( KBC ) +

S ( KBA1 ) + S ( KCD1 ) = S ( KA1D1).

Теперь проводим медиану KM в треугольнике KA1D1 ( рис.Так как она делит пополам площадь треугольника KA1D1, то тем самым она делит пополам и площадь исходного четырехугольника ABCD.

Замечание 2. В приведенном решении точка M оказалась внутри стороны BC. Обязательно ли это? Может ли она оказаться вне этой стороны?

Компьютерный эксперимент проясняет ситуацию.

Замечание 3. Вместо проведения параллельных отрезков можно проводить отрезки, проходящие через середины сторон четырехугольника: из точки K через середины сторон AB и CD.

Для исследования сюжета подготовлены шаблоны Дележ_участка1, Дележ_участка2, Дележ_участка2. В каждом из них можно провести эксперимент, поискать закономерности, а если не удастся найти решение самостоятельно, воспользоваться подсказками.

Видео:Как разделить брусок на три равные части. Олимпиадная задачаСкачать

Урок геометрии «Равновеликие фигуры в решении задач»

Разделы: Математика

Цель урока:

• повторение и обобщение ключевых задач о равновеликих фигурах;
• обучение учащихся поиску решения задач в ходе создания проблемно-познавательной ситуации;
• развитие грамотной устной и письменной математической речи учащихся.

Оборудование: доска, с заготовленными чертежами или слайды; раздаточный материал: учебное пособие Атанасян Л.С. и др. Геометрия: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса.

Ход урока

Заканчивая изучение темы «Площади», сегодня мы повторяем и развиваем наши знания о равновеликих фигурах.

1. Чтобы вспомнить понятие «равновеликие фигуры», поиграем в «Да» и «Нет».

Я составила диктант-попурри, выбрав вопросы из ваших диктантов, связанных с этим понятием. Я читаю вопрос, его автор комментирует правильный ответ.

Учащимся к семинару по теме «Площади» было предложено домашнее задание: составить диктант из пяти вопросов по данной теме, ответы на которые предполагали либо «да», либо «нет». Данную работу можно было выполнять группами по два человека, увеличив количество вопросов. Для быстрой проверки умения оперировать с понятиями при проведении диктантов используются сигнальные карточки: треугольники белого цвета и цветные треугольники, вырезанные из бумаги, при ответе «Да» учащиеся поднимают карточку белого цвета, при ответе «Нет» — цветной треугольник.

• Верно ли, что фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими?
• Верно ли, что равные многоугольники равновелики?
• Верно ли, что если площади фигур равны, то и фигуры равны?
• Могут ли равновеликие фигуры быть равными?
• Верно ли, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника?

2. Какие ключевые (базовые) задачи о равновеликих треугольниках мы рассматривали?

№1. Медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника.

Обоснуйте это утверждение (открыть заготовленный рис. №1 и по ходу обоснования сделать запись, рисунок не стирать).

№2. Все треугольники с общим основанием, вершины которых лежат на прямой, параллельной основанию, равновелики.

Обоснуйте это утверждение (открыть рис. №2 и по ходу обоснования сделать запись, рисунок не стирать).

1) На рисунке 3 я начертила ломаную ADB. Сравните площади четырёхугольников ADBС и ADBХ, ответ обоснуйте.

Вывод:

Сколько четырёхугольников равновеликих четырёхугольнику ADBC можно построить на рисунке 3?

Ответ: бесконечно много.

Что для этого надо сделать?

Ответ: отметить точку на прямойm и соединить её с точками A и B.

Полученный четырёхугольник будет равновелик четырёхугольнику ADBC.

Какой результат я могла бы получить, если бы дополнила рисунок 3 ломаной из

3-х звеньев? 4-х звеньев?

Ответ: бесконечно много равновеликих пятиугольников, шестиугольников и т.д.

Показать рисунок 4.

2) Начертите выпуклый четырёхугольник ABCD. Проведите диагональ AC. (рис.5)

Как построить четырёхугольник, равновеликий четырёхугольнику ABCD, диагональ которого есть отрезок AC?

Ответ: провести прямую а такую, что а ll АС, и D.

Пусть E, четырёхугольник ABCD равновелик четырёхугольнику ABCE.
Докажите последнее утверждение.

3) Есть ли на Рис. 6 равновеликие треугольники?

Какое утверждение позволяет нам это доказать?

Пусть .

Можно ли выразить площадь четырёхугольника ABCO через и ?

Ответ: да,

Можно ли выразить площадь четырёхугольника ABCO через ?

Ответ: да,

Как связаны ?

Ответ:

4) Решим задачу о разбиении данного выпуклого четырёхугольника на две равновеликие части.

Прочитаем условие задачи № 130 [1]

№ 130. В выпуклом четырёхугольнике ABCD через середину O диагонали BD проведена прямая, параллельная диагонали AC. Она пересекает сторону AD в точке E.

Докажите, что .

Сделаем чертёж (рис.7).

На рисунке отметим, что точка О – середина BD и укажем, что EO ll AC. Итак, что мы должны доказать? . Обозначим . Какую часть должна составлять площадь каждой фигуры от S? Проанализируем условие, подумаем: по условию точка О – середина BD, какое утверждение, связанное с равносильностью фигур, мы могли бы использовать?

Ответ: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Что нам надо провести на чертеже, чтобы можно было это утверждение применить?

Ответ: медианы АО и СО.

1. Проведём АО и СО.
2. 
3. по свойству медианы.
4. , по свойству 2 площадей.
   Какое условие мы не использовали?
   Ответ: EO ll AC.
   Можем ли мы сравнить площади четырёхугольников ABCE и ABCO?
5. т.к. EO ll AC, то , , .
6. , , значит, по свойству 2 площадей , ч.т.д.

Итог урока

Сегодня мы посвятили урок равновеликим многоугольникам. А где это может нам понадобиться, где практически можно применить полученные знания?

Пусть пройдёт какое-то время и кому-то из вас доведётся стать землеустроителем. Всем известно, что земледельцу не важно, какой формы участок, важна его площадь.

Допустим, что надо решить задачу: разделить участок на две части, равные по площади, если участок имеет форму: а) треугольника; б) четырёхугольника, при условии, что граница должна проходить через вершину многоугольника (столб на участке, например, стоит в этой вершине, и никому не хочется иметь его на своей земле).

Как выгоднее проводить границу: в виде ломаной или в виде отрезка прямой?

Ответ: длина отрезка меньше длины ломаной, соединяющей его концы, значит, если граница пройдёт по отрезку, то меньше материала уйдёт на ограждение.

Сформулируйте поставленную задачу на языке геометрии.

Ответ: а) Разделить треугольник на две равновеликие части прямой, проходящей через его вершину.

Как это сделать?

Ответ: Провести медиану из этой вершины.

Ответ: б) Разделить четырёхугольник на две равновеликие части прямой, проходящей через его вершину.

Как это сделать?

Решить задачу №130.

1. Провести АС.
2. Провести ВD.
3. Отметить точку О середину ВD.
4. Провести прямую mтакую, чтоm ll AC,
5. m пересекает CD в точке М
6. АМ – искомая граница.

Как разделить на две равновеликие части участок, имеющий форму пятиугольника?

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. М.: Просвещение, 1996.

🎬 Видео

Деление отрезка на равные части, перпендикуляр к прямой.Урок 4.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Разделить на 2,3 и 4 равные фигуры.Скачать

Страница 92 Задание 1 – Математика 3 класс Моро – Учебник Часть 1Скачать

🧭Как разделить круг на ТРИ Части, без Линейки и Циркуля; How to split a circle into three partsСкачать

Разрезать фигуру на равные части #математика #геометрия #логика #репетиторСкачать

Деление окружности на равные части с помощью циркуляСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать