Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма — это признаки,
с помощью которых можно доказать,
что четырехугольник — параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник — параллелограмм, нужно знать признаки
параллелограмма. Четырехугольник является параллелограммом, если один
из признаков параллелограмма для этого четырехугольника истинен.
Например, если у четырехугольника две стороны равны и
параллельны, значит этот четырехугольник параллелограмм.

Всего существует три признака параллелограмма: по двум одинаковым
параллельным сторонам,
по пересечению диагоналей и делению
диагоналей пополам в точке пересечения, по попарно равным
противоположным сторонам
. В этой статье мы рассмотрим
все три признака параллелограмма.

Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

I признак параллелограмма

По пересечению диагоналей и делению
диагоналей в точке пересечения пополам.

Четырехугольник является параллелограммом, если у четырехугольника
диагонали пересекаются, и в точке пересечения делятся пополам.

Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Если на рисунке 1 — BO = OD, MO = OK, то BMDK — параллелограмм.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

II признак параллелограмма

По двум одинаковым параллельным сторонам.

Четырехугольник является параллелограммом, если у четырехугольника
две стороны равны и параллельны.

Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Если на рисунке 2 — BM = DK, BM || DK, то BMDK — параллелограмм.

Видео:№430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположныеСкачать

№430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные

III признак параллелограмма

По попарно равным противоположным сторонам.

Четырехугольник является параллелограммом, если у
четырехугольника противоположные стороны попарно равны.

Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Если на рисунке 3 — BM = DK, MD = BK, то BMDK — параллелограмм.

В этой статье мы рассмотрели все три признака параллелограмма и
теперь можем доказать, что некий четырехугольник параллелограмм.

В следующей статье про площадь параллелограмма вы узнакете как её расчитать.

Видео:№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.Скачать

№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Видео:№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащихСкачать

№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Видео:Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

  • смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
  • равные отрезки;
  • одинаковые по величине противоположные углы;
  • четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
  • фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
  • равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
  • симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.

Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

  • попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
  • попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
  • равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
  • пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
  • МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2

Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

  • Если провести диагональ MP, то она образует треугольники MNP и MPK.
  • Фигуры имеют общую сторону MP, а MN=KP по условию.
  • Поскольку прямая MP пересекает параллельные прямые MN и PK, то образуемые этими прямыми накрест лежащие углы равны.
  • Параллельность других сторон MK и NP при диагонали MP основана на равенстве накрест лежащих углов, поэтому четырехугольник MNPK — параллелограмм.

    Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

    Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

    В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

    Видео:Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм Определение параллелограммаСкачать

    Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм  Определение параллелограмма

    Пошаговое доказательство

    Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

  • Равенство высот НО и ПС следует из соответствия площадей треугольников МНК и МПК, у которых имеется общая сторона МК.
  • Прямые, содержащие высоты НО и ПС, пересекают прямую МК под углом 90 градусов.
  • Точки пересечения лежат на одной и той же стороне относительно МК.
  • Отсюда следует, что МК и НП — параллельны.

    Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

    Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

    Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

    Видео:№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,Скачать

    №950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,

    Параллелограмм: свойства и признаки

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    О чем эта статья:

    Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

    8 класс, 4 урок, Параллелограмм

    Определение параллелограмма

    Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

    Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

    Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

    Свойства диагоналей параллелограмма:

    1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
    2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
    3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

    Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

    Свойства биссектрисы параллелограмма:

    1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
    2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
    3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

    Как найти площадь параллелограмма:

    1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом
    2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом
    3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
      Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

    P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

    У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

    Видео:Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

    Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

    Свойства параллелограмма

    Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

    Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

    1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
      ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом
    2. Противоположные углы параллелограмма равны.
      ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом
    3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
      ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом
    4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
      ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом
    5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
      ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом
    6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

    Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

    Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

    1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
    2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
    3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
      • CO = AO
      • BO = DO

      Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Теорема доказана. Наше предположение верно.

    Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

    Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

    Признаки параллелограмма

    Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

    Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 1 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB || CD
    • AB = CD

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

    Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

    Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

    1. AC — общая сторона;
    2. По условию AB = CD;
    3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

    Вот так быстро мы доказали первый признак.

    Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 2 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB = CD
    • BC = AD

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

    • AC — общая сторона;
    • AB = CD по условию;
    • BC = AD по условию.

    Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

    Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

    А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

    Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

    Доказали второй признак.

    Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 3 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

    • CO = OA;
    • DO = BO;
    • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

    Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

    Как проверить является ли четырехугольник параллелограммом

    Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

    Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

    📽️ Видео

    Какой четырехугольник называется параллелограммом? Геометрия 8 класс. Глава 5Скачать

    Какой четырехугольник называется параллелограммом? Геометрия 8 класс. Глава 5

    8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

    8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

    Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

    Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

    8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

    8 класс, 3 урок, Четырехугольник

    Четырехугольники. Геометрия 8 класс.Скачать

    Четырехугольники.  Геометрия 8 класс.

    Признаки параллелограмма Доказательство признаков параллелограммаСкачать

    Признаки параллелограмма Доказательство признаков параллелограмма

    Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

    Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

    Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)
  • Поделиться или сохранить к себе: