Как построить четырехугольник симметричный данному относительно прямой (3 видео)

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Содержание

Что такое симметрия
Осевая симметрия
Центральная симметрия
Задачи на самопроверку
Осевая и центральная симметрии
Как построить четырехугольник симметричный данному относительно прямой
📸 Видео

Видео:Осевая симметрия. Как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой. Геометрия 8 классСкачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Ось симметрии угла — биссектриса.
Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Симметрия относительно прямойСкачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:№416. Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М.Скачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать

Осевая и центральная симметрии

Если прямая проходит через середину отрезка А₁А₂ и перпендикулярна к нему, то точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно прямой . Каждая точка прямой симметрична самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая — ось симметрии фигуры.

Пример (синим цветом обозначены оси симметрии):

Точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка А₁А₂. Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Пример (синим цветом обозначены центры симметрии):

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Как построить четырехугольник симметричный данному относительно прямой

УРОК № 35

Тема. Симметрия относительно прямой

Цель урока: формирование понятия симметрии относительно прямой; изучение свойств симметрии относительно прямой; формирование умений применять изученные определения и свойства к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Преобразование фигур. Движения» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: описывают симметрию относительно прямой; строит фигуры, в которые переходят данные фигуры при симметрии относительно прямой; приводят примеры фигур, имеющих ось симметрии; применяют изученные определения и свойства к решению задач.

И. Проверка домашнего задания

1. Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при их выполнении.
2. Фронтальная беседа
1) Дайте определение симметрии относительно точки.
2) Какие фигуры называются центральносиметричними? Приведите примеры.
3) Укажите координаты точки, которая симметрична точке A ( a ; b ) относительно начала координат.

II. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Понятие симметрии относительно прямой

Точки X и X 1 называются симметричными относительно прямой l , если прямая l является серединным перпендикуляром к отрезка ХХ 1 (рис. 163), то есть если ОХ = ОХ1 и lXX 1 .

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку Х1 фигуры F1 , симметричную ей относительно данной прямой l , называется преобразованием симметрии относительно прямой l или осевой симметрией (рис. 164). При этом фигуры F и F 1 называются симметричными относительно прямой l , а прямая l — осью симметрии.

Свойства осевой симметрии

1) Преобразование осевой симметрии является перемещением.
2) Осевая симметрия превращает прямую на прямую; отрезок — отрезок; многоугольник — на равный ему многоугольник.
3) Точки, принадлежащие оси симметрии, отображаются сами на себя.
4) Если точки М(х; у) и N ( x 1; y 1 ) симметричные (рис. 165) в отношении:

а) оси Ох, то выполняется условие

б) оси Оу, то выполняется условие

Если преобразование симметрии относительно прямой l переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой l , а прямая l называется осью симметрии (рис. 166).

1. Постройте произвольный треугольник ABC и симметричный ему треугольник относительно оси:

2. Сколько осей симметрии имеет:

д) равносторонний треугольник?

III . Закрепление и осмысление нового материала

1. Постройте произвольный треугольник и треугольник, симметричный данному, относительно прямой, если она:

а) расположена вне треугольника;

б) имеет только одну общую точку с треугольником;

в) пересекает две стороны треугольника.

2. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин: А(1; 1); В(-3; 2), С(-1; -2), D (5; -3). Найдите координаты вершин четырехугольника, симметричный данному относительно оси:

3. Докажите свойства симметрии относительно прямой.
4. Запишите уравнение окружности, которое симметричное окружности (х — 1 ) 2 + (у + 2) 2 = 1 в отношении:

а) оси Ох; б) оси Оу.

5. Запишите уравнение прямой, которая симметрична прямой х + у = 1 в отношении:

а) оси Ох; б) оси Оу.

6. Дано прямую MN и точки А и В в разных півплощинах относительно MN и на разном расстоянии от нее. Через точки А и В проведите прямые так, чтобы угол между ними делился прямой MN пополам.

IV. Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал.
2. Решить задачи.
1) Запишите уравнение окружности, которое симметричное окружности (х + 1)2 + (у + 1)2 = 1 в отношении:

а) оси Ох; б) оси Оу.