Доказать что векторы е1 е2

Пример №1 . Даны векторы ε₁(2;1;3), ε₂(3;-2;1), ε₃(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁α₂α₃, что имеет место равенство:
X = &#945₁ε₁ + &#945₂ε₂ + &#945₃ε₃
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α₁;1α₁;3α₁😉 + (3α₂;-2α₂;1α₂😉 + (1α₃;-3α₃;-4α₃😉
(7;0;7) = (2α₁ + 3α₂ + 1α₃;1α₁ -2α₂ -3α₃;3α₁ + 1α₂ -4α₃)
По свойству равенства векторов имеем:
2α₁ + 3α₂ + 1α₃ = 7
1α₁ -2α₂ -3α₃ = 0
3α₁ + 1α₂ -4α₃ = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X = 2ε₁ + ε₂

В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a₁=(1;5;3), a₂=(2;1;-1), a₃=(4;2;1), a₄=(17;13;4).

Видео:Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2Скачать

Доказать что векторы е1 е2 е3 образуют базис и найти координаты вектора Х в этом базисе.
Х=(-4,-2,5)
е1=(1,-1,1)
е2=(-3,0,2)
е3=(1,-1,2)

Даны векторы e1(1;-1;1), e2(-3;0;2), e3(1;-1;2), X(-4;-2;5). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.

Вычислим определитель матрицы:

Определитель матрицы равен ∆ =-3

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:

X = α1e1 + α2e2 + α3e3

Запишем данное равенство в координатной форме:

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:

(-4;-2;5) = (1α1;-1α1;1α1;) + (-3α2;0α2;2α2;) + (1α3;-1α3;2α3;)

(-4;-2;5) = (1α1 -3α2 + 1α3;-1α1 + 0α2 -1α3;1α1 + 2α2 + 2α3)

По свойству равенства векторов имеем:

1α1 -3α2 + 1α3 = -4

-1α1 + 0α2 -1α3 = -2

1α1 + 2α2 + 2α3 = 5

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.

Видео:Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать

35. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве

Определение 51. Базис Е = (Е1, Е2, . , Еn) пространства Еn называется Ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные.

Замечание. В примере 1 пункта 7.2 заданный базис является ортонормированным. Во втором примере этого пункта базис не ортонормированный.

Если базисные векторы единичные, но не все попарно ортогональны, то базис называется Нормированным. Если базисные векторы попарно ортогональны, но не все единичные, то базис называется Ортогональным.

Теорема 43. Любой базис евклидова пространства можно ортонормировать.

Доказательство. Пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn) – произвольный базис пространства Еn. Доказательство проведём в два этапа. Сначала на основе данного базиса получим ортогональный базис, а затем полученный базис нормируем.

Пусть Е11 = Е1. Если Е2 ^ Е1, То возьмём Е21 = Е2. Если Е2 не ортогонален Е1. то найдём коэффициент A Так, чтобы вектор Е21 = AЕ1 + Е2 Был ортогонален вектору Е11. Так как вектор Е21 ¹ 0, то для этого необходимо и достаточно, чтобы (Е11, е21 ) = 0, т. е. (Е1, AЕ1 + Е2) = 0. Отсюда AЕ12 + (Е1, Е2) = 0. Так как Е1 ¹ 0. то Так как Е11 и Е21 ортогональны, то они линейно независимы. Вектор Е31 Будем искать в виде Е31 = A1 Е11 + A2 Е21 + Е3. Для того, чтобы Е31 был ортогонален Е11 И Е21, необходимо и достаточно, чтобы (Е11, Е31) = (Е21, Е31) = 0. Получаем систему

Так как определитель этой системы отличен от нуля (по формуле 43) то система имеет и только одно решение. Следовательно,

Вектор Е31 найдётся и только один. Так как векторы Е11, е21, е31 попарно ортогональны, то они линейно независимы. Если векторы Е11, е21, … , еn–11 уже получены, то вектор Еn1 будем искать в виде Еn1 = B1×Е11+ B2× е21 + … + Bn–1× еn–11 + Еn . Так как вектор Еn1 должен быть ортогонален ко всем предыдущим, то для нахождения коэффициентов B1, B2, … , Bn–1 получим систему уравнений (Е11, Еn1) = (Е21, Еn1) = … = (Еn–11, Еn1) = 0. Можно показать, что эта система всегда имеет решение и только одно. Итак, базис Е1 = (Е11, Е21, . , Еn1) –ортогональный. Разделив каждый полученный вектор на его длину, получим ортонормированный базис.

Теорема 44. Скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет единичную матрицу Грама.

Доказательство Следует из того, что в ортонормированном базисе (Ек, ек) =1, (Ек, еs )= 0, если К ¹ s.

Следствие. Если вектор А В ортонормированном базисе имеет координаты (Х1, х2,…, хn), то ½А½= (47).

Теорема 45. Определитель матрицы Грама и все её главные угловые миноры строго положительны.

Доказательство. Пусть в данном (но произвольном) базисе матрица Грама имеет вид

Г = .

Пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn) ортонормированный базис и Т – матрица перехода от данного базиса к базису Е. В базисе Е Матрица Грама – единичная. По формуле (43) Е = ТТ×Г×Т. Отсюда 1 = |Г |×|Т |2. Так как |Т |2 > 0,

Так как – евклидово подпространство пространства Еn с Тем же скалярным произведением, то главный угловой минор матрицы Г будет для него матрицей Грама. Но тогда, по доказанному, этот минор положителен.

Примеры. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы.

1. А =

Матрица А Не может быть матрицей Грама, так как в матрице Грама все диагональные элементы должны быть положительными.

2. В =

Матрица В Не может быть матрицей Грама, так как матрица Грама должна быть симметрична относительно главной диагонали.

3. С =

Матрица С Не может быть матрицей Грама, так как |С | = –81 0, = 7 > 0. Следовательно, D является матрицей Грама.

Доказательство. В ортонормированном базисе скалярное произведение имеет единичную матрицу, поэтому

(А, В) = ХТ×Е×у = ХТ×у = (Х1, х2, … , хn) × = Х1у1 + Х2у2 + … + Хnуn.

Пример. В пространстве Е4 задан ортонормированный базис и векторы А1= (2, 1, 1, 2) и А2 = (–3, 2, –5, 1). Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке L = .

Решение. Если L^, то В Î L^ Û (А1, В) = (А2, В) = 0. Пусть В = (Х1, х2, х3, х4). Так как базис ортонормированный, то (А1, В) = 2Х1 + х2 + х3 + 2Х4 , (А2, В) = –3Х1 + 2Х2 –5Х3 + х4 . Следовательно, В Î L^ Û Решая эту систему, получим, что

В = (–С1 –3С2 , С1 – 8С2 , С1 , 7С2), где С1 , С2 – любые действительные числа.

Отсюда следует, что L^ — двумерное линейное пространство, натянутое на векторы

🎬 Видео

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9Скачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

№750. Докажите, что если векторы АВ и СD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают.Скачать

Задача 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2, построенные по векторам a и b?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Коллинеарность векторовСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать