Как определить вид четырехугольника по углам

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Как определить вид четырехугольника по углам

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Как определить вид четырехугольника по углам

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Как определить вид четырехугольника по углам

Содержание
  1. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  2. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  3. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  4. Параллелограмм
  5. Параллелограмм и его свойства
  6. Признаки параллелограмма
  7. Прямоугольник
  8. Признак прямоугольника
  9. Ромб и квадрат
  10. Свойства ромба
  11. Трапеция
  12. Средняя линия треугольника
  13. Средняя линия трапеции
  14. Координаты середины отрезка
  15. Теорема Пифагора
  16. Справочный материал по четырёхугольнику
  17. Пример №1
  18. Признаки параллелограмма
  19. Пример №2 (признак параллелограмма).
  20. Прямоугольник
  21. Пример №3 (признак прямоугольника).
  22. Ромб. Квадрат
  23. Пример №4 (признак ромба)
  24. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  25. Пример №5
  26. Пример №6
  27. Трапеция
  28. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  29. Центральные и вписанные углы
  30. Пример №8
  31. Вписанные и описанные четырёхугольники
  32. Пример №9
  33. Пример №10
  34. Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
  35. Определение четырехугольника
  36. Выпуклые четырехугольники
  37. Параллелограмм
  38. Прямоугольник
  39. Квадрат
  40. Трапеция
  41. Примеры решений заданий из ОГЭ
  42. math4school.ru
  43. Четырёхугольники
  44. Основные определения и свойства
  45. Описанные четырёхугольники
  46. Вписанные четырёхугольники
  47. Параллелограмм
  48. Прямоугольник
  49. Квадрат
  50. Трапеция
  51. Дельтоид
  52. Ортодиагональные четырёхугольники

Видео:№751. Определите вид четырехугольника ABCD, если:Скачать

№751. Определите вид четырехугольника ABCD, если:

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Как определить вид четырехугольника по угламуглы Как определить вид четырехугольника по угламявляются внешними.

Как определить вид четырехугольника по углам

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Как определить вид четырехугольника по угламГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Как определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Как определить вид четырехугольника по угламДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Как определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Как определить вид четырехугольника по углам

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Как определить вид четырехугольника по углам

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Как определить вид четырехугольника по угламто параллелограмм Как определить вид четырехугольника по угламявляется ромбом.

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство теоремы 1.

Дано: Как определить вид четырехугольника по угламромб.

Докажите, что Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство (словестное): По определению ромба Как определить вид четырехугольника по угламПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Как определить вид четырехугольника по угламравнобедренный. Медиана Как определить вид четырехугольника по углам(так как Как определить вид четырехугольника по углам), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Как определить вид четырехугольника по угламТак как Как определить вид четырехугольника по угламявляется прямым углом, то Как определить вид четырехугольника по углам. Аналогичным образом можно доказать, что Как определить вид четырехугольника по углам

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Как определить вид четырехугольника по углам

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Как определить вид четырехугольника по углам

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

План доказательства теоремы 2

Дано: Как определить вид четырехугольника по угламравнобедренная трапеция. Как определить вид четырехугольника по углам

Докажите: Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Как определить вид четырехугольника по угламтогда Как определить вид четырехугольника по угламЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Как определить вид четырехугольника по углампроведем параллельную прямую к прямой Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Как определить вид четырехугольника по угламчерез точку Как определить вид четырехугольника по углам— середину стороны Как определить вид четырехугольника по углампроведите прямую параллельную Как определить вид четырехугольника по угламКакая фигура получилась? Является ли Как определить вид четырехугольника по угламтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Как определить вид четырехугольника по угламМожно ли утверждать, что Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. Пусть дан треугольник Как определить вид четырехугольника по углами его средняя линия Как определить вид четырехугольника по угламПроведём через точку Как определить вид четырехугольника по углампрямую параллельную стороне Как определить вид четырехугольника по угламПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Как определить вид четырехугольника по угламт.е. совпадает со средней линией Как определить вид четырехугольника по угламТ.е. средняя линия Как определить вид четырехугольника по углампараллельна стороне Как определить вид четырехугольника по угламТеперь проведём среднюю линию Как определить вид четырехугольника по угламТ.к. Как определить вид четырехугольника по угламто четырёхугольник Как определить вид четырехугольника по угламявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Как определить вид четырехугольника по угламПо теореме Фалеса Как определить вид четырехугольника по угламТогда Как определить вид четырехугольника по угламТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство: Через точку Как определить вид четырехугольника по углами точку Как определить вид четырехугольника по угламсередину Как определить вид четырехугольника по углампроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Как определить вид четырехугольника по угламчерез Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Как определить вид четырехугольника по угламрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Как определить вид четырехугольника по угламЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Как определить вид четырехугольника по углами Как определить вид четырехугольника по углами точка Как определить вид четырехугольника по угламкоторая является серединой отрезка Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по угламто Как определить вид четырехугольника по углама отсюда следует, что Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

2) По теореме Фалеса, если точка Как определить вид четырехугольника по угламявляется серединой отрезка Как определить вид четырехугольника по угламто на оси абсцисс точка Как определить вид четырехугольника по угламявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Как определить вид четырехугольника по углами Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

3) Координаты середины отрезка Как определить вид четырехугольника по угламс концами Как определить вид четырехугольника по углами Как определить вид четырехугольника по угламточки Как определить вид четырехугольника по угламнаходятся так:

Как определить вид четырехугольника по углам

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Как определить вид четырехугольника по углампараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Как определить вид четырехугольника по угламкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Как определить вид четырехугольника по углам

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Как определить вид четырехугольника по углам

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Как определить вид четырехугольника по угламкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Как определить вид четырехугольника по углам

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Как определить вид четырехугольника по углам

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Как определить вид четырехугольника по углам

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Как определить вид четырехугольника по угламто, Как определить вид четырехугольника по углам— прямоугольный.

Как определить вид четырехугольника по углам

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Как определить вид четырехугольника по угламявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Как определить вид четырехугольника по угламтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Виды четырёхугольниковСкачать

Виды четырёхугольников

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Как определить вид четырехугольника по углам(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Как определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по углам

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Как определить вид четырехугольника по углам, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Как определить вид четырехугольника по углам

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Как определить вид четырехугольника по углам=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Как определить вид четырехугольника по углам+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Как определить вид четырехугольника по углам. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Как определить вид четырехугольника по углам. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Как определить вид четырехугольника по углам

Решение:

Как определить вид четырехугольника по углам(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Как определить вид четырехугольника по углам(АВ CD, ВС-секущая), Как определить вид четырехугольника по углам(ВС || AD, CD — секущая), Как определить вид четырехугольника по углам(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. Как определить вид четырехугольника по углампо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Как определить вид четырехугольника по угламкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Как определить вид четырехугольника по углам

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Как определить вид четырехугольника по углам

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Как определить вид четырехугольника по углампо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Как определить вид четырехугольника по углам Как определить вид четырехугольника по угламУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Как определить вид четырехугольника по углампо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Как определить вид четырехугольника по угламкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Как определить вид четырехугольника по угламНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Как определить вид четырехугольника по углам

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Как определить вид четырехугольника по углампо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Как определить вид четырехугольника по угламкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Как определить вид четырехугольника по угламНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Как определить вид четырехугольника по углам

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Как определить вид четырехугольника по углам

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Как определить вид четырехугольника по угламМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Как определить вид четырехугольника по углам. Как определить вид четырехугольника по углампо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Как определить вид четырехугольника по углам. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Как определить вид четырехугольника по углам. По свойству углов четырёхугольника, Как определить вид четырехугольника по углам

Следовательно, Как определить вид четырехугольника по углам: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Как определить вид четырехугольника по углам

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Как определить вид четырехугольника по углам

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Как определить вид четырехугольника по углам

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Как определить вид четырехугольника по углам. Как определить вид четырехугольника по углам

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Как определить вид четырехугольника по углам

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Как определить вид четырехугольника по углам(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Как определить вид четырехугольника по углампо двум сторонами и углу между ними.

Как определить вид четырехугольника по углам

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Как определить вид четырехугольника по углампо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Как определить вид четырехугольника по углам

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Как определить вид четырехугольника по углам

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Как определить вид четырехугольника по углам

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Как определить вид четырехугольника по углам

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Как определить вид четырехугольника по углам

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Как определить вид четырехугольника по углами Как определить вид четырехугольника по угламПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Как определить вид четырехугольника по углампараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Как определить вид четырехугольника по угламПри помощи циркуля сравните длины отрезков Как определить вид четырехугольника по угламСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказать: Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. Проведём через точки Как определить вид четырехугольника по углампрямые Как определить вид четырехугольника по углампараллельные ВС. Как определить вид четырехугольника по углампо стороне и прилежащим к ней углам. У них Как определить вид четырехугольника по углампо условию, Как определить вид четырехугольника по угламкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Как определить вид четырехугольника по углами Как определить вид четырехугольника по угламкак противоположные стороны параллелограммов Как определить вид четырехугольника по углам

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Как определить вид четырехугольника по углам

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Как определить вид четырехугольника по углам

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Как определить вид четырехугольника по угламПроведём прямую Как определить вид четырехугольника по углам. Через точки Как определить вид четырехугольника по углампроведём прямые, параллельные прямой Как определить вид четырехугольника по углам. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Как определить вид четырехугольника по углам, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Как определить вид четырехугольника по углам(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказать: Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Как определить вид четырехугольника по углам. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Как определить вид четырехугольника по углам. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Как определить вид четырехугольника по углам

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Как определить вид четырехугольника по углам

Поэтому Как определить вид четырехугольника по углам. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Как определить вид четырехугольника по углам

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРКак определить вид четырехугольника по углам, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Как определить вид четырехугольника по углам

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Как определить вид четырехугольника по углам

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Как определить вид четырехугольника по углам

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Как определить вид четырехугольника по углам= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Как определить вид четырехугольника по углам

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Как определить вид четырехугольника по угламno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Как определить вид четырехугольника по угламкак вертикальные, Как определить вид четырехугольника по угламвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Как определить вид четырехугольника по углам

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Как определить вид четырехугольника по угламравнобедренный. Поэтому Как определить вид четырехугольника по угламсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Как определить вид четырехугольника по углам

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Как определить вид четырехугольника по углам

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Как определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по углам

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Как определить вид четырехугольника по углам— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Как определить вид четырехугольника по углам. По свойству внешнего угла треугольника, Как определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по углам— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Как определить вид четырехугольника по угламизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Как определить вид четырехугольника по углам

Из доказанного в первом случае следует, что Как определить вид четырехугольника по угламизмеряется половиной дуги AD, a Как определить вид четырехугольника по углам— половиной дуги DC. Поэтому Как определить вид четырехугольника по угламизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Как определить вид четырехугольника по углам

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Как определить вид четырехугольника по угламкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Как определить вид четырехугольника по углам, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Как определить вид четырехугольника по углам

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Как определить вид четырехугольника по углам(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Как определить вид четырехугольника по углам(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Как определить вид четырехугольника по углам

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказать: Как определить вид четырехугольника по углам

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Как определить вид четырехугольника по углам

Тогда Как определить вид четырехугольника по углам

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Как определить вид четырехугольника по углам

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Как определить вид четырехугольника по углам

Докажем, что Как определить вид четырехугольника по углам. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Как определить вид четырехугольника по углам. По свойству равнобокой трапеции, Как определить вид четырехугольника по углам

Тогда Как определить вид четырехугольника по углами, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Как определить вид четырехугольника по углам

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Как определить вид четырехугольника по углам

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Как определить вид четырехугольника по угламцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Как определить вид четырехугольника по угламвписанного в окружность. Действительно,

Как определить вид четырехугольника по углам

Следовательно, четырёхугольник Как определить вид четырехугольника по углам— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Как определить вид четырехугольника по углам

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Как определить вид четырехугольника по углам

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение четырехугольника
  • Выпуклые четырехугольники
  • Параллелограмм

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео:№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Найдите углы четырёхугольникаСкачать

Найдите углы четырёхугольника

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ?  Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:Определить вид треугольника по сторонам. 9 классСкачать

Определить вид треугольника по сторонам. 9 класс

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)Скачать

Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

math4school.ru

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Четырёхугольники

Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Основные определения и свойства

Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по углам

Если M , N , P , Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , а R , S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ , MRPS , NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD . Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

Как определить вид четырехугольника по углам

Отрезки MP , NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP , NG=GQ , RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Описанные четырёхугольники

Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK = AN , BK = BL , CL = CM , DM = DN .

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b , CD = c и AD = d верны соотношения:

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Вписанные четырёхугольники

Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Как определить вид четырехугольника по углам

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Как определить вид четырехугольника по углам

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Как определить вид четырехугольника по углам

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Как определить вид четырехугольника по углам

Площадь вписанного четырёхугольника:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Как определить вид четырехугольника по углам

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Параллелограмм

Как определить вид четырехугольника по углам

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Как определить вид четырехугольника по углам

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ ABC =∠ CDA ; ∠ ABD =∠ CDB .

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Как определить вид четырехугольника по углам

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:
  • через две его стороны и угол между ними:
Как определить вид четырехугольника по углам

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

∠ ABD =∠ CBD =∠ ADB =∠ CDB ; ∠ BAC =∠ DAC =∠ BCA =∠ DCA .

Как определить вид четырехугольника по углам

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Как определить вид четырехугольника по углам

  • через диагонали ромба и сторону:

Как определить вид четырехугольника по углам

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Как определить вид четырехугольника по углам

Площадь ромба можно определить:

Как определить вид четырехугольника по углам

  • через сторону и угол ромба:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Прямоугольник

Как определить вид четырехугольника по углам

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Как определить вид четырехугольника по углам

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через диагонали и угол между ними:
Как определить вид четырехугольника по углам

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Видео:Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Квадрат

Как определить вид четырехугольника по углам

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Как определить вид четырехугольника по углам

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Как определить вид четырехугольника по углам

Радиус вписанной окружности:

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео:ЧетырехугольникиСкачать

Четырехугольники

Трапеция

Как определить вид четырехугольника по углам

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Как определить вид четырехугольника по углам

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

Как определить вид четырехугольника по углам

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AED ∼ Δ BEC , k = AD / BC .

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AОD ∼ Δ CОВ , k = AD / BC .

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Как определить вид четырехугольника по углам

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

Как определить вид четырехугольника по углам

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Как определить вид четырехугольника по углам

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Как определить вид четырехугольника по углам

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Как определить вид четырехугольника по углам

Как определить вид четырехугольника по углам

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

  • углы при основании равны:
  • сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Как определить вид четырехугольника по углам

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Как определить вид четырехугольника по углам

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

Как определить вид четырехугольника по углам

  • через диагонали и угол между ними:

Как определить вид четырехугольника по углам

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Дельтоид

Как определить вид четырехугольника по углам Как определить вид четырехугольника по углам

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

Как определить вид четырехугольника по углам

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:
Как определить вид четырехугольника по угламКак определить вид четырехугольника по углам

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Как определить вид четырехугольника по углам

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Как определить вид четырехугольника по углам

Ортодиагональные четырёхугольники

Как определить вид четырехугольника по углам

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d ²;
  • для площади четырёхугольника верно: S = ½ef ;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.
Как определить вид четырехугольника по углам

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Как определить вид четырехугольника по углам

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О , то верны соотношения:

Поделиться или сохранить к себе: