Вывод формулы длины окружности и площади круга

Основные определения и свойства. Число π

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и ее дуг

Площадь круга

Длина окружности

Длина дуги

Площадь сектора

Площадь сегмента

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
		Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Длина окружности
Длина дуги

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Лабораторная работа по математике на тему: «Вывод формулы длины окружности и площади круга»

Разделы: Математика

Цели урока

• Обучающие.Опытным путем получить зависимость между длиной окружности и её диаметром, вывести формулы длины окружности и площади круга.
• Развивающие.Способствовать дальнейшему развитию внимания, наблюдательности, самоконтроля учащихся.
• Воспитательные.Воспитывать аккуратность и дисциплинированность школьников, умение работать в тишине, помогать товарищам.

Учащиеся должны иметь с собой картон, лист цветной бумаги, ножницы, нитки, циркуль, цветной карандаш, простой карандаш, клей-карандаш, калькулятор, линейку, фломастер.

Ход урока

В первую очередь актуализируются опорные знания, необходимые для выполнения лабораторной работы. Учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

1. Что называют отношением двух величин?
2. Как округлить десятичную дробь до десятых? До сотых?
3. Чему равна площадь прямоугольника?
4. Что такое окружность? Радиус? Диаметр?
5. Если фигуру площадью S разделить на части с площадями S1 и S2, будет ли выполняться равенство S=S1+S2
6. Если фигуру площадью S разделить на части и из них составить другую фигуру, будет ли её площадь равна площади первоначальной фигуры?

Учащиеся выполняют практические задания по команде учителя и записывают свои наблюдения (учитель может все проделывать на доске, если класс не достаточно подготовлен к самостоятельной работе, или предложить ученикам работать в парах).

1. На картонном листе начертить окружность с произвольным радиусом, отметить её центр, записать значение радиуса в миллиметрах(R) и значение диаметра в миллиметрах(D).
2. Провести клеем-карандашом по окружности и, пока клей не высох, проложить нитку точно по контуру окружности и аккуратно отрезать её на стыке.
3. Снять нитку с картона и очень точно измерить её длину в миллиметрах. Этот размер назовем длиной окружности(L). Записать значение L.
4. Найти отношение

с помощью калькулятора, округлить получившуюся дробь до тысячных, до сотых, до десятых, до целых. Сделать соответственные записи.

Далее ученики называют свои результаты и замечают, что, хотя окружности были построены у всех разные, отношения длины к диаметру получились примерно одинаковые.

Отношение длины окружности к её диаметру – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение, принято называть греческой буквой (“пи”) – первой буквой слова “периферия” (греч. “окружность”). Общеупотребительным такое обозначение стало с середины восемнадцатого века. Число выражается бесконечной непериодической десятичной дробью и приближенно равно 3,141592653589…

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Итак, первым приближением числа было 3. Однако уже во II тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение.

Три первые цифры числа =3,14…запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

Нужно только постараться
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

С.Бобров. “Волшебный двурог”

Вывод формулы длины окружности.

Итак, мы имеем следующее соотношение: =. Выведем из этой формулы L: L=D или L=2R. Эта формула называется формулой длины окружности. Чтобы найти длину окружности, надо знать её радиус или диаметр.

Учащимся предлагается выполнить несколько упражнений:

1. D=6см, найти L.
2. R=3дм3мм, найти L.
3. L=6см, найти R.
4. L=8мм, найти R.

Вывод формулы площади круга.

Учащиеся выполняют практические задания по команде учителя (учитель может проделывать все на доске).

1. На листе цветной бумаги начертить окружность с произвольным радиусом и провести фломастером по её контуру.
2. Разделить круг с помощью линейки и карандаша на несколько секторов, затем разрезать его. (см. рис.1) Заметим, что не следует делить круг на меньшее, чем 8 секторов.

1. В одном из секторов следует провести радиус, делящий его на 2 равных сектора, которые назовём крайними (см. рис.2) и отложить.

1. На картонном листе провести горизонтальную прямую и приклеить вдоль неё сектора, как показано на рис.3. (На рис.3,а – круг разделен на 8 секторов, на рис.3,б – на 16 секторов). Крайние сектора приклеить по краям. Заметно, что получившаяся фигура при увеличении количества секторов становится очень похожей на прямоугольник. Значит, и её площадь можно найти по формуле площади прямоугольника. Ширина нашего прямоугольника равна радиусу окружности(R), а длина прямоугольника равна половине длины окружности (). Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, т. е. S=, а т.к. L=2R, значит S= или S=R 2 .

.Так как прямоугольник был составлен из частей круга, то их площади равны. Значит, площадь круга равна: S=R.

Применение формул для решения задач.

1. Сравнить площади кругов с радиусами 3дм и 300мм.
2. Найти площадь круга, если D=6см.
3. Найти площадь круга, если L=10.
4. Сравнить площадь круга с R=5см с площадью квадрата со стороной 5см.

Следует отметить, что этот этап нужно включать в ход урока, если использован двухчасовой урок. В этом случае можно провести небольшую проверочную работу, которую учащиеся выполнят прямо на своих картонных листах. Учитель оценит правильность решения задач и аккуратность выполнения практической части.

В противном случае оценивается только практическая часть.

Комментарий: Данный урок является нетрадиционным, что особенно нравится детям любого возраста. Практика показывает, что получение или вывод формул “своими силами” прочно запоминается ввиду своей наглядности, четко простроенной цепочки выводов. Для учащихся 5-6 классов формулы длины окружности и площади круга – одни из первых, которые надо прочно запомнить. Так пусть дети их выведут сами!

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется по формуле:

C = 2πR,
где R — радиус окружности.

Вывод формулы, выражающей длину окружности

Путь C и C’ — длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через P_n и P’_n их периметры, а через a_n и a’_n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника a_n = 2R sin (180°/n) получаем: P_n = n · a_n = n · 2R sin (180°/n), P’_n = n · a’_n = n · 2R’ sin (180°/n). Следовательно, P_n / P’_n = 2R / 2R’. (1) Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как P_n → C, P’_n → C’, n → ∞, то предел отношения P_n / P’_n равен C / C’. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R’. Таким образом, C / C’ = 2R / 2R’. Из этого равенства следует, что C / 2R = C’ / 2R’, т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»). Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R: С = 2πR.

Длина дуги окружности

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина l дуги в 1° равна 2πR / 360 = πR / 180. Поэтому длина l дуги окружности с градусной мерой α выражается формулой l = (πR / 180) · α.

🌟 Видео