Внутренние односторонние углы в треугольнике

Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

∠1 и ∠2

∠3 и ∠4

— внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

Если a ∥ b, то

∠1 + ∠2 = 180º

(как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

∠3 + ∠4 =180º

А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

∠1 = ∠2

тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Видео:УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Построение параллелограмма

Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Виды и отношения углов

Видео:Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать

Развёрнутый угол и угловой градус

Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми. Развёрнутый угол принимаем равным 180°. Таким образом один угловой градус — это 1/180 часть развёрнутого угла.

AB и AC — это две дополнительные полупрямые, образующие развёрнутый угол BAC. Двигай луч AB.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

Виды углов

Острый угол больше 0°, но меньше 90°. Тупой угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой угол равен 90°.

Угол ABC — острый. Двигай точки A, B и C. Угол DEF — тупой. Двигай точки D, E и F. Угол GHI — прямой. Двигай точки G, H и I.

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Смежные углы

Смежные углы это такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие — дополнительные полупрямые.

Здесь углы BAC и CAD — смежные. У них сторона AC — общая, а стороны AB и AD — дополнительные полупрямые.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это углы, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

Здесь углы BAC и DAE — вертикальные. У них сторона AB — дополнительная полупрямая к стороне AD, а сторона AC — дополнительная полупрямая к стороне AE. Двигай точки A, B и C.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

Соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, и стороны, лежащие на секущей, сонаправлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и соответственный ему угол.

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей односторонние углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, а стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и односторонний с ним угол.

Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, противоположно направлены, и стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и накрест лежащий с ним угол.

📺 Видео

Математика ОГЭ и ЕГЭ Внутренние, внешние углы треугольникаСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.Скачать

Урок 02. Треугольник, Равенство треугольников, Соответственные, накрест лежащие, односторонние углыСкачать

Пары углов в геометрииСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

Вариант 12, № 1. Внутренние односторонние углы. Пример 1Скачать