Внешний угол треугольника определение свойство (8 видео)

Внешний угол треугольника

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный к любому углу этого треугольника.

На Рис.1 угол 4 внешний так как углы 2 и 4 смежные.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Докажем, что ( small angle 4=angle 1+ angle 3. ) Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем:

Содержание

Что такое внешний угол треугольника
Определение внешнего угла треугольника
Свойства внешних углов треугольника
Примеры решения задач
Свойства внешнего угла треугольника
Внешний угол
Свойства внешних углов
Что мы узнали?
🎥 Видео

Видео:теорема о внешнем угле треугольника. Доказательство.Скачать

Что такое внешний угол треугольника

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Определение внешнего угла треугольника

Углы, смежные с углами треугольника, называются внешними.

Например, для $angle A$, внешними будут углы $angle 1$ и $angle 2$ (см. рис.)

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Свойства внешних углов треугольника

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^$.
Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна $180^$.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

$$angle 1=angle B+angle C$$

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

Примеры решения задач

Задание. В треугольнике $Delta M N K$, внешний угол $angle M$ равен $120^$, а угол $angle N=65^$. Найти угол $angle K$.

Решение. По теореме о внешнем угле $angle M=angle N+angle K$. Подставляя в это равенство исходные данные, получим

Выразим $angle K : angle K=120^-65^ Rightarrow angle K=55^$

Ответ. $angle K=55^$

Задание. Внешние углы при двух вершинах треугольник равны $70^$ и $150^$. Найти внутренний угол при третьей вершине.

Решение. Обозначим внешние углы $angle 1, angle 2, angle 3$, а соответствующие им внутренние — $alpha, beta, gamma$.

По условию $angle 1=150^$ и $angle 2=70^$. По свойству внешних углов, их сумма, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^$. То есть

$$angle 1+angle 2+angle 3=360^$$

Выразим из этого равенства неизвестный угол $angle 3$

$$angle 3=360^-angle 1-angle 2$$

Тогда искомый внутренний угол можно найти из условия, что сумма внутреннего и внешнего углов равна $180^$, то есть $gamma+angle 3=180^$, тогда:

Ответ. $gamma=40^$

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Свойства внешнего угла треугольника

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 169.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 169.

Внешний угол треугольника редко используется при решении геометрических задач. Однако при этом свойства внешнего угла лучше знать, потому как задача на применение этих свойств рано или поздно попадется каждому ученику.

Видео:Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать

Внешний угол

Внешний угол треугольника это угол, смежный с внутренним. Внутренних углов в треугольнике три, и их сумма равна 180 градусам. Смежными углами зовутся углы, одна из сторон каждого лежит на одной прямой, а вторая является общей.

Что нужно сделать, чтобы увидеть внешний угол треугольника? Для этого придется выполнить некоторые дополнительные построения. Чтобы увидеть внешний угол треугольника необходимо продолжить его сторону. При каждой вершине две стороны, соответственно продолжить можно две прямых, и смежных углов будет два.

Итого в треугольнике получается 6 внешних углов.

Нежелательно на рисунке строить два внешних угла при одной вершине одновременно. Это усложнит построение и, чаще всего, не принесет никакого положительного результата.

Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Свойства внешних углов

Свойств у внешних углов треугольника не так много и все они связаны с определением внешнего угла.

Основное свойство гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним. Свойство доказывается достаточно просто. Сумма смежных углов равна 180. Сумма углов в треугольнике все те же 180. Тогда, если обозначить внутренние углы а,в,с, внешний угол d, то:

Вычтем из первого выражения второе и получим:

d=в+с – вот и все доказательство.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

Есть еще несколько дополнительных свойств внешних углов:

Если решение задачи требует одновременного существования двух внешних углов при одной вершине на чертеже, то можно заметить, что эти внешние углы будут равны, как вертикальные.
Сумма трех внешних углов, по одному при каждой из вершин, равна 360 градусам.
Так как внешний и внутренний углы треугольника смежные, то их сумма равна 180 градусам.

Особенное значение имеют внешние углы при решении тупоугольных треугольников. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике одна из высот всегда внешняя. Найти эту высоту можно через тригонометрические функции. Для этого и нужно знать угол, который для тупоугольного треугольника будет внешним, а для достроенного прямоугольного треугольника – внутренним.

Видео:Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Примеры задач. Геометрия 7 класс.Скачать

Что мы узнали?

Мы привели определение внешнего угла треугольника. Посчитали количество внешних углов треугольника, определили особенности построения внешних углов при решении задачи. Рассказали, где чаще всего применяются свойства внешних углов треугольника.