Как найти все базы векторов

Найти базу системы векторов

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор

Базисом в -мерном пространстве называется упорядоченная система из линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

, где &#x2212 некоторые числа и называется линейной комбинацией векторов .

Если существуют такие числа из которых хотя бы одно не равно нулю (например ) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов &#x2212 является линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа , тогда система векторов &#x2212 является линейно-независимой.

Базис может образовывать только линейно-независимая система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием ранга матрицы .

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис. При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.

Видео:Решение "базисной системы векторов" (2)Скачать

Решение "базисной системы векторов" (2)

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов Av А2. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

Как найти все базы векторов

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

Как найти все базы векторов

  • 3) записать базис системы векторов Б = (АрА2, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
  • 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

Как найти все базы векторов

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Как найти все базы векторов

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г. Как найти все базы векторов

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

Как найти все базы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A t ay + А2х2 + . + А„хп = 0, которая в координатной записи имеет вид

Как найти все базы векторов

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Как найти все базы векторов

Разрешенная система имеет вид

Как найти все базы векторов

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б: = (AVA2), которые соответствуют разрешенным неизвестным х1 и х2. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А3 являются координаты вектора А’3 = (3, -2), т.е. коэффициенты при х3 в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х3 А3 = ЗЛ1 — 2Аг Аналогично, коэффициентами разложения вектора А4 являются координаты вектора А’4 = (4, 1) А4 = 4Ау + 1 Ат

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я94 = 1.

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Как найти базис данной системы векторов

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства Как найти все базы векторов: Как найти все базы векторов.

2. В системе векторов Как найти все базы векторов базисом являются векторы: Как найти все базы векторов, т.к. Как найти все базы векторовлинейно выражается через векторы Как найти все базы векторов.

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронеккера–Капелли дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности произвольной системы Как найти все базы векторовлинейных уравнений с Как найти все базы векторовнеизвестными

Как найти все базы векторов

Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических урав­нений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, Как найти все базы векторов.

Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны Как найти все базы векторов( Как найти все базы векторов), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны Как найти все базы векторов( Как найти все базы векторов, то система совместна.

2. Для совместной системы найдем какой-нибудь минор, порядок Как найти все базы векторовкоторого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из Как найти все базы векторовуравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные Как найти все базы векторовнеизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.

3. Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образомнаходим частные решения исходной системы уравнений.

Линейное программирование. Основные понятия

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующихсистему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называетсядопустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х1 , х2 , … хn ) и функция этих переменных f(x) = f (х1 , х2 , … хn ), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

Как найти все базы векторов

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х1 , х2 , … хn
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов Av А2. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

Как найти все базы векторов

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

Как найти все базы векторов

  • 3) записать базис системы векторов Б = (АрА2, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
  • 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

Как найти все базы векторов

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Как найти все базы векторов

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г. Как найти все базы векторов

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

Как найти все базы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A t ay + А2х2 + . + А„хп = 0, которая в координатной записи имеет вид

Как найти все базы векторов

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Как найти все базы векторов

Разрешенная система имеет вид

Как найти все базы векторов

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б: = (AVA2), которые соответствуют разрешенным неизвестным х1 и х2. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А3 являются координаты вектора А’3 = (3, -2), т.е. коэффициенты при х3 в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х3 А3 = ЗЛ1 — 2Аг Аналогично, коэффициентами разложения вектора А4 являются координаты вектора А’4 = (4, 1) А4 = 4Ау + 1 Ат

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я94 = 1.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Вход РегистрацияDonate FAQ Правила Поиск

Правила форума

Видео:Примеры Линейная зависимость векторов Базис и ранг системы векторовСкачать

Примеры  Линейная зависимость векторов  Базис и ранг системы векторов

Основы линейной алгебры

Как найти все базы векторов

05/12/06
126
Нижний Новгород

Здраствуйте. Мне необходимо решить некоторые задания, прочитав курс теории. Сходу разобраться не удалось, и поэтому я не могу вникнуть в формулировки заданий, что вызывает сложности при решении.
Итак, задание номер 1.
Пусть A = — система векторов арифм. пространства.
а) Найти ранг и базу системы А
б) Вектора не входящие в базу выразить через векторы базы.

а1 = (-2, 1, 7, 3)т
а2 = (2, 6, 3, 6)т
а3 = (1, 5, -2, 7)т
а4 = (-1, 2, 12, 2)т

Как решал его я.. Составил матрицу А —

(-2 2 1 -1 )
( 1 . )
( 7 . )
( 3 . )

(0 0 1 -1)
(0 1 0 1)
(1 0 0 1)

Как найти все базы векторов
bot
Заслуженный участник
Как найти все базы векторов

21/12/05
5742
Новосибирск

Как найти все базы векторов
int13
Как найти все базы векторов

05/12/06
126
Нижний Новгород

Как найти все базы векторов
bot
Заслуженный участник
Как найти все базы векторов

21/12/05
5742
Новосибирск

Во всех пунктах, кроме третьего система A отдыхает. Остальные пункты делаются за один проход гауссовыми преобразованиями в том порядке, как Вы это делали в предыдущей задаче:
Назначаете ненулевой элемент ведущим и преобразованиями строк обнуляете все элементы столбца, в котором он стоит, в любой другой строке опять выбираете ведущий и опять делаете то же самое. Прцесс прекратится, когда выбор ведущего станет невозможным. В этот момент при мысленной перестановке строк и столбцов у Вас выделится единичная матрица. Выделенные ведущие укажут номера векторов одной из баз, их количество — размерность оболочки (или ранг, как сказано). Как остальные векторы выражаются через базу, скажут столбцы так же как в решённой Вами задаче.

Линейная оболочка множества векторов — это множество всех линейных комбинаций векторов из B. Линейная оболочка является пространством со всеми вытекающими отсюда понятиями: размерность, базис, .

Относительно нахождения всех баз . задача дурацкая, но из конкретных зависимостей которые Вы найдёте, выразив все векторы через одну из баз, немного покомбинаторив, обычно нетрудно найти все возможные базы.

Пункт в) странный: если ранг B окажется не равным 3, то эквивалентности заведомо нет, а если окажется, то для эквивалентности надо знать эту А.

Как найти все базы векторов
int13
Как найти все базы векторов

05/12/06
126
Нижний Новгород

В процессе упрощения этой системы получилась вот такая штука:

( 0 1 0 )
( 0 9.5 5.5)
( 1 14/11 0 )

Причем направляющий элемент взял из всех столбцов кроме среднего, и когда я зануляю среднюю строку получается ( 0 0 0 ), то есть это как понимать.. Либо я не правильно решил, либо любые вектора являются решением?

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Вдогонку, прошу расшифровать мне вот такое задание:
Для данной матрицы А
а) Найти столбцовую базу. Остальные столбцы выразить через нее.
б) Найти строчечную базу. Остальные столбцы выразить через нее.
в) Найти базисный минор.

(-2 1 7 3 )
( 2 6 3 6 )
( 1 5 -2 7)
( -1 2 12 2)

Когда читал теорию, мне показалось, что я видел такое высказывание, что столбцовая и строчечная базы неквадратной матрицы равны, и равны этому же базисному минору. Про конкретно квадратную не помню.
Так вот, что здесь нужно сделать?
Решить. Транспонировать, и снова решить?

Как найти все базы векторов
Brukvalub
Заслуженный участник
Как найти все базы векторов

01/03/06
13620
Москва

Как найти все базы векторов
Страница 1 из 1[ Сообщений: 6 ]

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

🌟 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.

Не пропустите открытие тысячелетия! // Vital MathСкачать

Не пропустите открытие тысячелетия! // Vital Math

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

СПИВАК: У МИРА 3-4 ГОДА! ЗАПАД НА РАСТЯЖКЕ! ИРАН ВСТУПАЕТ В ВОЙНУ! НОВАЯ ОСЬ ЗЛА! МОБИЛИЗАЦИЯ...Скачать

СПИВАК: У МИРА 3-4 ГОДА! ЗАПАД НА РАСТЯЖКЕ! ИРАН ВСТУПАЕТ В ВОЙНУ! НОВАЯ ОСЬ ЗЛА! МОБИЛИЗАЦИЯ...

Линейная зависимость векторовСкачать

Линейная зависимость векторов

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы
Поделиться или сохранить к себе: