Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, но не принадлежит прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Говорят, что прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпересекаются в точке М.
Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Это можно записать так: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— знак принадлежности точки прямой, «Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьперпендикулярны (рис. 12), то пишут Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb.
  2. Если Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 90°, то а Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьАВ и b Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb.
  3. Если Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьОFА = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2). Из равенства этих треугольников следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьЗ = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4 и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность5 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность6.
  6. Так как Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность5 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность6 следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность6 = 90°. Получаем, что а Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьFF1 и b Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьFF1, а аНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность
2) Заметим, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьAOF = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьl + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180° и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180° следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьF и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3. Кроме того, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAF. Действительно, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4 и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьFAC равны как соответственные углы, a Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьFAC = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180° (рис. 97, а).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3= 180°.

4) Из равенств Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность= Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 = 180° следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAF + Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Так как Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = 90°, то и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = 90°, а, значит, сНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпараллельны, то есть Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, лучи АВ и КМ.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(рис. 161).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, перпендикулярную прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи строят другую перпендикулярную прямую Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, затем — третью прямую Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи т. д. Поскольку прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьперпендикулярны одной прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, то из указанной теоремы следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, параллельной прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьтретьей прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность5,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность8,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность6,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность7,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность5,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность8 — соответственные углы;
  • Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность6,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность5 — внутренние односторонние углы;
  • Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность7,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— данные прямые, АВ — секущая, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 (рис. 166).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказать: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи продлим его до пересечения с прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 по условию, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBMK =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьANM =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBKM = 90°. Тогда прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 (рис. 167).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказать: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи секущей Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьl +Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180° (рис. 168).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказать: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи секущей Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьAOB = Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAO=Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAK = 26°, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAC = 2 •Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьADK +Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1=Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2. Так как Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность||Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Реальная геометрия

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпроходит через точку М и параллельна прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность||Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(рис. 187).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказать: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность||Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Доказательство:

Предположим, что прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, параллельные третьей прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность||Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность4. Доказать, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Так как Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, которая параллельна прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, которые параллельны прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, АВ — секущая,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказать: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2.

Доказательство:

Предположим, чтоНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, параллельные прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— секущая,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 — соответственные (рис. 196).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказать:Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— секущая,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 иНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказать:Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьl +Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 +Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 = 180°. По свойству параллельных прямыхНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьl =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3 как накрест лежащие. Следовательно,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьl +Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, т. е.Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 = 90°. Согласно следствию Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, т. е.Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 = 90°.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьАОВ =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьABD =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьADB =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьпараллельны, то пишут: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(рис. 211).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность3. Значит,Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность1 =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность2.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи АВНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, то расстояние между прямыми Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, А Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, С Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, АВНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, CDНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьCAD =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьравны (см. рис. 285). Прямая Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, проходящая через точку А параллельно прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, которая параллельна прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьбудет перпендикуляром и к прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAD +Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, параллельную прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность|| Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьравноудалены от прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьна расстояние Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, то есть расстояние от точки М до прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьравно Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Но через точку К проходит единственная прямая Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, параллельная Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Значит, точка М принадлежит прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Таким образом, все точки прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьравноудалены от прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Прямая Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность— параллельны.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьНайди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(Рис.8).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Докажем, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Тогда Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность.

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(Рис.11).

Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Тогда из Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьследует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Из Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьи Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельностьследует, что Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Найди пары параллельных прямых и доказать их параллельность

🎦 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. Практическая часть.  10 класс.

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Признаки равенства треугольников. Доказать равенство по рисунку. Найти пары.Скачать

Признаки равенства треугольников. Доказать равенство по рисунку. Найти пары.

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.
Поделиться или сохранить к себе: