Окружность и существенные признаки (4 видео)

math4school.ru

Содержание

Свойства и признаки окружности
«Уникальные» свойства окружности
«Не уникальные» свойства окружности
Доказательство признака 2
Доказательство признака 6
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Определение окружности
Свойства окружности
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Формулы
Тема урока «Окружность и круг»
Презентация к уроку
🎬 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Свойства и признаки окружности

Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки .

Однако определить окружность можно и многими другими способами. Приведем несколько примеров.

1. Окружность есть геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна и больше половины квадрата расстояния между этими точками.

2. Окружность есть геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В постоянно и не равно 1.

Такая окружность называется окружностью Аполлония точек А и В .

3. Окружность диаметра AB – это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность обладает многими красивыми свойствами, доказательство которых не представляет труда. Сложнее определить, являются ли эти свойства также и признаками окружности, т.е. существуют ли другие кривые, обладающие ими. Перечислим сначала некоторые из свойств окружности, не присущие никаким другим кривым.

«Уникальные» свойства окружности

1. Два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

3. Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.

4. Из всех замкнутых кривых, для которых длины всех хорд не превосходят заданной величины, окружность ограничивает область максимальной площади.

5. Любые две дуги окружности равной длины можно совместить.

Это свойство называется самоконгруэнтностью. На плоскости им, кроме окружности, обладает только прямая. Если кривая может не лежать в плоскости, оно задает также винтовую линию.

Однако замкнутых самоконгруэнтных кривых, отличных от окружности, не существует. Благодаря этому свойству меч, имеющий форму дуги окружности, можно вставлять и вынимать из ножен той же формы.

6. При любом расположении двух равных окружностей на плоскости они имеют не больше двух общих точек.

7. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

Для некоторых из перечисленных свойств доказательства того, что они определяют окружность, а значит являются ее признаками, совсем элементарны. Для других, напротив, весьма сложны. Наиболее интересны доказательства признаков 2 и 6. (Попробуйте найти их самостоятельно; если не получится – смотрите ниже.)

А теперь приведем два красивых свойства окружности, которыми обладают и другие кривые.

«Не уникальные» свойства окружности

1. Окружность является кривой постоянной ширины.

Это значит, что если провести к окружности две параллельные касательные, то расстояние между ними не зависит от их направления.

Как ни странно, этим свойством обладают многие кривые, в том числе довольно сильно отличающиеся от окружности. Наиболее простая из них, так называемый треугольник Рело , изображена на следующем рисунке.

Он состоит из трех дуг окружностей, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, а радиусы равны его стороне. Если изготовить несколько катков, поперечные сечения которых являются кривыми постоянной ширины, то можно перевозить на них плоскую платформу, и она не будет перемещаться вверх и вниз.

Отметим также, что все кривые данной постоянной ширины имеют одну и ту же длину .

2. Любая прямая, которая делит пополам периметр окружности, делит пополам и площадь ограниченного ею круга.

Разумеется, помимо окружности этим свойством обладают любые кривые, имеющие центр симметрии. Гораздо интереснее то, что обладать им могут и не центрально-симметричные кривые, в том числе и выпуклые. Вот изображение одной из таких фигур:

Ее можно задать следующими уравнениями:

Доказательство признака 2

Пусть дана выпуклая гладкая кривая, касательные к которой из любой точки равны. Возьмем произвольную точку А вне кривой и проведем касательные АВ’ и АС’ . Докажем, что для всех точек А’ , лежащих на дуге В’С’ (одной и той же), углы В’А’С’ совпадают.

Проведем через А’ касательную к кривой и найдем точки В и С ее пересечения с АС’ и АВ’ .

По условию треугольники В’А’С’ и C’A’B’ равнобедренные, следовательно:

∠ C’A’B’ = π – ∠ BA’C’ – ∠ CA’B’ = ½ · (∠ CBA – ∠ ACB) = ½ · (π – ∠ BAC) .

Таким образом угол, под которым видна хорда В’С’ , не зависит от выбора точки на дуге. Для второй дуги доказательство аналогично. По первому признаку, из приведенных выше, кривая является окружностью.

Доказательство признака 6

Прежде всего, отметим, что в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. Действительно, возьмем на кривой произвольную точку А и повернем кривую вокруг А на π /3. Точка пересечения старого и нового положения кривой, отличная от А будет второй вершиной треугольника.

Итак пусть правильный треугольник с центром О вписан в нашу кривую. Повернем ее вокруг О на угол 2 π /3. Старое и новое положение кривой пересекаются, по крайней мере, в трех точках (вершинах треугольника) и, значит, совпадают, т.е. О является центром симметрии 3 порядка. Рассмотрим теперь поворот кривой вокруг О на произвольный угол φ . Если старое и новое положение кривой не совпадают, то число точек их пересечения кратно 3 (в силу симметрии) и не равно 0 (иначе одна кривая лежала бы целиком внутри другой, что для конгруэнтных кривых невозможно). Следовательно, кривая переходит в себя при любом повороте вокруг О , т.е. является окружностью.

Источники: А. Заславский. Свойства и признаки окружности. («Квант», №6, 2001), Википедия.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одного из основных геометрических объектов – окружности. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти ее радиус, диаметр и длину.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Определение окружности

Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, состоящая из точек, равноудаленных от определенной точки. Данная точка называется центром окружности.

Радиус окружности (R) – это отрезок, соединяющий любую точку, лежащую на окружности, с ее центром.

Диаметр окружности (d) – это линия (хорда), проходящая через центр окружности и соединяющая две противоположные точки, лежащие на ней.

Примечание: Не стоит путать окружность с кругом, т.к. круг – это множество точек плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности).

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Свойства окружности

Свойство 1

Через три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, причем только одну.

Свойство 2

Точка касания двух окружностей (C) лежит на одной прямой (AB), которая проходит через их центры.

Свойство 3

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых одинаковой длины окружность ограничивает область с самой большой площадью.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Формулы

1. Диаметр окружности (d):

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Тема урока «Окружность и круг»

Презентация к уроку

Тема урока: «Длина окружности, площадь круга».

Тип урока: обобщающий урок

Цели урока:

I. Образовательно-развивающие цели:

1.1. Систематизация, обобщение и углубление знаний и умений учащихся по теме «Длина окружности, площадь круга»;

1.2. Применение опорных понятий: окружность, круг, радиус, диаметр, центр, хорда, длина, площадь;

1.3. Развитие общеучебных умений: структурировать знания, осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной речи, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий, контролировать и оценивать результаты деятельности;

1.4. Развитие логических действий: анализировать объекты с целью выделения признаков существенных и несущественных (окружность, круг, длина, площадь), оперировать понятиями (определять понятия, формулировать проблемные вопросы (вопросы-понятия и вопросы-суждения), формулировать ответы в виде суждения или умозаключения, обобщать понятия, сравнивать изучаемые понятия;

1.5. Развитие специальных умений: выявляют существенные признаки понятий окружность, длина окружности, площадь круга, находят общие признаки понятий диаметр, радиус, хорда, точки на окружности.

II. Воспитательная цель: формирование диалектико-материалистического мировоззрения на основе философских категорий: единство – многообразие, причина – следствие, общее – особенное – единичное; воспитание у учащихся умение слушать друг друга (формирование коммуникативных, личностных, регулятивных универсальных учебных действий), уважать мнение других.

Материально-техническое и дидактическое обеспечение урока: карточки с практическим заданием (Приложение 1), карточки с тестовыми заданиями (Приложение 2), бланки ответов (Приложение 3), индивидуальные карточки с вопросами-понятиями и вопросами-суждениями (Приложение 4), карточки с домашним заданием (Приложение 5), компьютерная презентация к уроку, индивидуальные доски для рисования, интерактивная доска.

Ход урока

Этапы урока

Деятельность учителя

Время, баллы

Деятельность учащихся

Организационная часть урока

Приветствие.

Выдает учащимся раздаточный материал, включающий: карточки с практическим заданием (Приложение 1), карточки с тестовыми заданиями (Приложение 2), бланки ответов (Приложение 3), индивидуальные карточки с вопросами-понятиями и вопросами-суждениями (Приложение 4), индивидуальные доски для рисования.

заполняют поле «ФИО, класс» в бланке ответов.

Актуализация знаний

– Сегодня итоговый урок по теме «Длина окружности, площадь круга» (слайд 1).

– Сформулируйте свои цели на сегодняшний урок.

Выбор арбитров для учета активности по рядам.

Заявка на оценку (на доске):

«5» – 24 балла и более
«4» – 18-23 баллов
«3» – 12-17 баллов

Баллы даются за фактически выполненные задания. Увеличить количество баллов можно своей активностью на уроке: выступлениями, формулировкой вопросов-понятий или суждений, ответами на них, возражениями, дополнениями

формулируют цели урока, например: повторить и закрепить знания и умения по теме урока.

Устный счет

Задание №1. Решить примеры

Демонстрирует слайд 2 с примерами устного счета, проверяет ответы, демонстрирует правильные ответы:

Задания для устного счета подбираются индивидуально, исходя из уровня подготовленности учащихся. Мои учащиеся решают подобные задания устно, т.к. знают приемы быстрого счета.

УУД: анализ объектов с выделением существенных признаков, эффективного способа решения, контроль в форме сличения результата с заданным эталоном, самооценка и контроль

Выполняют устные вычисления, результат записываю в бланк ответов и на доске для рисования, показывают учителю, сверяют свои решения с ответами на доске (1400, 1766, 1225, 2704)

Решение практических упражнений

Задание №2. Выполнить практические упражнения (Приложение 1).

Проводит инструктаж по выполнению практических упражнений.

1 этап: индивидуальная работа

2 этап: простая кооперация (обсуждение решений):

1) Разбивает учащихся на 5 групп, распределяет по группам номера заданий для сверки ответов:

1 группа – задание №1,
2 группа – задание №2,
3 группа – задание №3,
4 группа – задание №4,
5 группа – задание №5,

2) Контролирует ход и время обсуждения

3 этап: проверка задания

1) Демонстрирует на интерактивной доске слайд 3 с заданием, на котором представители каждой группы записывают решения.

2) Контролирует четкость и грамотность формулируемых вопросов.

УУД: умение извлекать информацию, представленную на рисунке, описывать и анализировать полученную информацию с целью выделения существенных признаков, подводить под понятие, структурировать знания, анализировать объекты с целью выделения существенных и несущественных признаков, общих признаков. Учитывать позиции других людей; слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблемы; согласованно выполнять совместную деятельность; взаимно контролировать действия друг друга; умение договориться; осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной речи; контроль и самооценка результатов деятельности

за выступление – 2 балла,
дополнение – 1-2 балла,
возражение – 1-3 балла)

1 этап: Учащиеся выполняют индивидуально практические задания (приложение №1.), ответы записывают в бланк ответов. (№1: 4 см; №2: 8 см; №3: 24 см; №4: 48 см 2 ; №5: 36см 2 ).

2 этап: Обсуждают ответы на задания.

3 этап: Представители каждой группы выходят к доске, объясняют и записывают решение. Остальные учащиеся проводят самоконтроль и самооценку выполненных заданий (если верно выполнены все задания – 5 баллов, каждая ошибка – минус 1 балл), записывают полученные баллы в бланк ответов.

Вопросы-понятия

Задание №3. Используя карточку №1 составить вопрос-понятие по выполненным заданиям.

УУД: умение правильно выражать свои мысли; осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной речи; контроль и оценка результатов деятельности.

по 1б. за вопрос-понятие,
по 2 балла за ответ на вопрос-понятие, дополнение, возражение

1) Задают друг другу вопросы-понятия, дополняют, возражают:

Что называется окружностью? (фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки [2])
Что такое круг? (часть плоскости, ограниченная окружностью [1], стр.154)
Что выражает число Пи? (отношение длины окружности к ее диаметру[1], стр.147)
Что понимается под площадью круга? (произведение числа П на квадрат радиуса[1], стр.154)
Что представляет собой радиус? (Отрезок, соединяющий точку на окружности с центром окружности[2])
Что считается диаметром? (отрезок, соединяющий две точки окружности, проходящий через центр окружности[2])

Арбитры ведут учет активности.

Сведения из истории

Демонстрирует слайд 4.

Сейчас уже нельзя сказать, кто именно изобрел этот инструмент – история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала – первого «воздухоплавателя» древности. [2]

Физкультминутка

Проводит физкультминутку (демонстрирует слайд 5 [4])

Выполнение тестовых заданий

Задание №4. Используя бланк, выполнить задания на осведомлённость, определение понятий, обобщение понятий. Проводит инструктаж по выполнению теста

1 этап: индивидуальная работа

2 этап: простая кооперация (обсуждение решений): Разбивает учащихся на 5 групп, распределяет по группам номера заданий для сверки ответов:

1 группа – субтест №1,
2 группа – субтест №2 (1, 2 задание),
3 группа – субтест №2 (3, 4 задание),
4 группа – субтест №3 (1, 2 задание),
5 группа – субтест №3 (3, 4 задание).

Контролирует ход и время обсуждения.

3 этап: защита ответов

Заслушивает ответы каждой группы, возражения, дополнения.

УУД: умение структурировать знания; анализировать объекты с целью выделения существенных и несущественных признаков, общих признаков, оперировать понятиями (определять понятия, подводить под понятие, сравнивать изучаемые понятия), учитывать позиции других людей; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблемы; согласованно выполнять совместную деятельность; взаимно контролировать действия друг друга; умение договориться; правильно выражать свои мысли; осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной речи; умение контролировать и оценивать результаты деятельности.

по 1б. за выступление, дополнение, возражение

1 этап: Работают с тестовыми заданиями (приложение №2), ответы записывают в бланк ответов.

2 этап: Обсуждают ответы на тестовые задания

3 этап: Представители каждой группы называют ответы на тестовые задания. Учащиеся проводят самоконтроль и самооценку выполненных заданий, записывают полученные баллы в бланк ответов. Арбитры ведут учет активности.

Вопросы-суждения к тесту

Сформулировать вопросы-суждения к субтесту №2

Контролирует четкость и грамотность формулируемых вопросов.

УУД: умение правильно выражать свои мысли; осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной речи; контролировать оценивать результаты деятельности.

по 2 б. за вопрос-суждение и ответ на вопрос-суждение,
по 1б. за дополнение, возражение

Чем объяснить, что содержание 2 понятия является неверным? (В данном понятии родовой признак указан верно, первый видовой признак указан тоже верно, а второй видовой признак – неверно)
Как доказать, что радиусы окружности равны друг другу? (Радиус окружности – это отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром [2]. По определению, все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности, значит радиусы окружности равны.

Арбитры ведут учет активности.

Итоги, выставление оценок, домашнее задание

1) Подводит итоги урока.

2) Выдает домашнее задание (Приложение 5)

3) Демонстрирует слайд 6: Спасибо за урок!

УУД: контроль и оценка результатов деятельности.

Подсчитывают баллы, выставляют оценку в бланк ответов согласно заявке на урок.