Как найти вектора в кубе

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую.

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведены прямые AC и BD₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD₁. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D₁ = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD₁ = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD₁ = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB₁ и AC₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA₁, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB₁. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B₁ = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC₁. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C₁ иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение A₁BC₁. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A₁, B и C₁, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C₁ = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AA₁C₁C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A₁ и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x_a; y_a; z_a) и B = (x_b; y_b; z_b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A₁B₁C₁D₁.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A₁L = C₁L, т.е. точка L — это середина отрезка A₁C₁. Но A₁ = (0; 0; 1), C₁ = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Метод координат в задачах типа С2.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:№364. Точка К—середина ребра В1С1 куба ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор АК по векторам а = АВ,Скачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

В ы б е р е м н а ч а л о к оо р д и н а т . П р о в е д е м т ри в з а и м н о п е р п е н д и к у л яр ны е о с и х , y и z . Выберем м а с ш т а б .

П о л у ч и л а с ь с и с т е м а к о о р д и н а т в т р е х м е р н о м п р о с т р а н с т в е .

К а ж д а я т о ч к а х а р а к т е р и з у е т с я т р е м я ч и с л а м и — к оо р д и н а т а м и п о x , y и z . З а п и с ь M ( − 1 ; 3 ; 2 ) о з н а ч а е т , ч т о к оо р д и н а т а т о ч к и M п о x ( а б с ц и сс а ) р а в н а − 1 , к оо р д и н а т а п о y ( о р д и н а т а ) р а в н а 3 , а к оо р д и н а т а п о z ( а пп л и к а т а ) р а в н а 2 .

В е к т о р ы в п р о с т р а н с т в е о п р е д е л яю т с я т а к ж е , к а к и н а п л о с к о с т и.

Э т о н а п р а в л е н ны е о т р е з к и, и м е ю щ и е н а ч а л о и к о н е ц . Т о л ь к о в п р о с т р а н с т в е в е к т о р з а д а е т с я т р е м я к оо р д и н а т а м и x , y и z :

ﺂ؟ ( x _a ; y _a ; z _a )

Чтобы н а й т и к о о р д и н а т ы в е к т о р а , так же, как и на плоскости, и з к оо р д и н а т ы к о н ц а надо в ы ч есть к оо р д и н а т у н а ч а ла.

1.

2.

Если точка M – середина отрезка AB , то ее координаты находятся по формуле:

3.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

4. – сумма векторов.

5. – разность векторов.

6. – произведение вектора на число.

7. — скалярное произведение векторов

8. – косинус угла между векторами.

2. Введение системы координат.

Метод координат – это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C 2 никаких координат и векторов нет, поэтому их надо вводить.

Самое замечательное свойство заключается в том, что не имеет никакого значения как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

2.1 Координаты куба.

Система координат вводится очень просто:

Начало координат – в точке A

Если ребро куба не указано, то принимаем его за единичный отрезок;

Ось x направляем по ребру АВ, у – по ребру А D , а ось z – по ребру AA _{1 .}

Теперь у каждой вершины куба есть координаты:

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0),

2.2 Координаты правильной треугольной призмы

A (1; 0; 0), B , C (0; 0; 0), A ₁ (1; 0; 1), B ₁ , C ₁ (0; 0; 1).

2.3 Координаты правильной шестиугольной призмы

2.4 Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Введем систему координат с началом в точке А

Найдем координаты точки S . Рассмотрим треугольники ASH и ABH

AS = AB = 1 по условию;

Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH — высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;

Сторона AH — общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD — диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Итак, координаты точки S :

Рассмотрим случай, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания. В этом случае рассмотрим треугольник AHS :

Треугольник AHS — прямоугольный , причем гипотенуза AS — это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .

3. Матрицы и определители второго и третьего порядка.

Определение: Таблица, составленная из четырёх чисел называется квадратной матрицей второго порядка. Числа называют элементами матрицы.

Определение: Число ∆ называется определителем или детерминантом матрицы.

∆ =

Определитель третьего порядка можно вычислить так:

4. Метод координат в пространстве

4.1 Угол между прямыми.

Вычисление направляющих векторов для прямых.

В задаче С2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим направляющий вектор для прямой.

α -угол между прямыми

3.1 Угол между двумя прямыми – это угол между их направляющими векторами.

Задача 1 .

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найдите угол между прямыми AE и BF , где E – середина ребра A ₁ B ₁ , где Е – середина ребра А ₁ В ₁ а F – середина ребра B ₁ C _1.

Решение (1 способ)

K — середина A ₁ D ₁ AK ║ BF угол KAE = φ

По теореме Пифагора

По теореме косинусов для ∆ AKE

KE ² = AE ² + AK ² — 2 * AE * AK * cos φ

cos φ =0,8 φ = arccos 0.8

Решение (2 способ)

С помощью векторов и координат легко найти угол между прямыми.

А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то для этого нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

4.2 Плоскость в пространстве задается уравнением.

Ax + By + Cz + D =0,

где A , B и С – координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; -2; 0) и К (4; 1; 2)

Уравнение плоскости выглядит так:

Ax + By + Cz + D =0

Получим систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A , B , С и D . Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило – простое вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Решив систему, получим:

A =- B =- C =

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на -3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор (1; 4; -7 ) – это нормаль к плоскости MNK .

Если плоскость проходит через начало координат, то D =0 (так как D ≠0 не позволит получить верное числовое равенство).

Уравнение плоскости, проходящей, через заданную точку имеет вид:

_{Уравнение плоскости можно составить и с помощью определителя третьего порядка :}

_{Пусть имеем точки}

_,

_{Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти три точки ,будет иметь вид:}

₌₀

4.3 Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

cos φ =

При пересечении двух плоскостей образуется четыре угла . Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения – чтобы косинус угла был неотрицателен.

В кубе A B C D A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ то ч к и E и F с середины ребер соответственно A ₁ B ₁ и

A ₁ D ₁ . Найдите косинус у г л а между плоскостями A E F и B D D ₁ .

В и д н о , ч т о п л о с к о с т и A E F и B D D ₁ пересекаются где-то вне куба . В классическом решении пришлось бы строить пересечения . Н о координатный м е т о д з н а ч и т е л ь н о в с ё у п р о щ а е т . Достаточно о т м е т и ть к оо р д и н а т ы н у ж н ы х т о ч е к и н а й ти у г о л м е ж д у н о р м а л я м и к п л о с к о с т я м A E F и B D D ₁ .

A (0; 0; 0), C (1; 1; 0)

Сначала – нормаль к плоскости BDD ₁ . Мы можем подставить координаты точек B , D и D ₁ в уравнение плоскости и найти координаты вектора нормали. А можно увидеть нужную нормаль на чертеже. Ведь плоскость BDD ₁ – это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF .

A E F

_{Составим уравнение плоскости:}

Уравнение плоскости AEF : 2 x +2 y — z =0

Нормаль к плоскости AEF : (2; 2; -1)

Найдем угол между плоскостями:

_{4.4 Угол между прямой и плоскостью}

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE , где E -середина апофемы SF грани ASB грани и плоскостью ASC

OB — вектор нормали плоскости ASC

DE — направляющий вектор прямой

OB — — вектор нормали плоскости ASC

DE — — вектор направляющей вектор прямой DE

Ответ:

4.5 Расстояние от точки до плоскости

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E до прямой B ₁ C ₁ .

Решение (1 способ)

1) Рассмотрим Δ CDE :

по теореме косинусов:

СЕ 2 = 2 С D 2 — 2CD 2 cos120° = 2 + 2*1/2 = 3 =>

CE =

2) Рассмотрим ΔС ₁ СЕ: он прямоугольный, т.к. С ₁ С перпендикулярна плоскости нижнего основания => CC ₁ перпендикулярна СЕ.

По теореме Пифагора:

С ₁ Е 2 = ( ) 2 + 1 2 = 4, С ₁ Е = 2

3) Рассмотрим ΔBCE : он прямоугольный , т.к. 120° — 60°:2 = 90° (из Δ CDE )

ВЕ 2 = ( ) 2 + 1 2 = 4, ВЕ = 2

4) Рассмотрим ΔВВ ₁ Е: он прямоугольный, т.к. ВВ ₁ перпендикулярна ВЕ,

по теореме Пифагора:

В ₁ Е 2 = В ₁ В 2 + ВЕ 2 = 4 + 1 = 5, ВЕ =

С ₁ Е = 2, С ₁ В ₁ = 1, В ₁ Е = , т.е. 2 2 + 1 2 = ( ) 2 . Таким образом, по теореме обратной теореме Пифагора, ΔВ ₁ С ₁ Е – прямоугольный, угол В ₁ С ₁ Е = 90°

6) Искомое расстояние от точки Е до прямой В ₁ С ₁ – это длина С ₁ Е = 2

1) Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси, как показано на рисунке. СС ₁ , СВ и СЕ попарно перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:

С ₁ (0;0;1), Е ( ;0;0), В ₁ (0;1;1)

2) Найдем координаты векторов С ₁ В ₁ и С ₁ Е:

С ₁ В ₁ (0;1;0), С ₁ Е ( ;0;-1).

3) Найдем косинус угла между С ₁ В ₁ и С ₁ Е, используя скалярное произведение векторов С ₁ В ₁ и С ₁ Е:

cosβ = = 0 => β = 90° => C ₁ E – искомое расстояние.

4) С ₁ Е = =2

4.6 Расстояние между скрещивающимися прямыми

в пространстве — это длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный обеим этим прямым.

Если прямые в пространстве пересекаются, расстояние между ними считается равным 0.

Пусть есть не пересекающиеся в пространстве прямые a и b.

Построим плоскости α и β так, чтобы эти плоскости были параллельны, плоскость α содержала в себе прямую a , плоскость β содержала в себе прямую b .

Расстоянием между прямыми a и b будет расстояние между плоскостями α и β .

Александров А.Д. и др

. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики . Просвещение, 1992.

2. Ю.М.Нейман, Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян .

Математика: ЕГЭ: Учебно-справочные материалы «Просвещение», 2011.

3 . Погорелов А.В.

Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк., 4-е изд. – М.: Просвещение, 1993.

ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия

. Под ред. А. Л. Семенова и И.В.Ященко. МЦНМО, 2011.

Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатно-векторный метод) . Математика в школе. — 2011. — №4.

Видео:№402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0)Скачать

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

🔥 Видео

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Найти в кубе угол между двумя прямымиСкачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Как найти координаты вектора?Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать