Как найти вектор по углу и другому вектору

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторуназывается вектор Как найти вектор по углу и другому вектору, начало которого совпадает с началом вектора Как найти вектор по углу и другому вектору, а конец — с концом вектора Как найти вектор по углу и другому вектору, при условии, что начало вектора Как найти вектор по углу и другому векторуприложено к концу вектора Как найти вектор по углу и другому вектору) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Как найти вектор по углу и другому вектору

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому вектору— векторы, Как найти вектор по углу и другому вектору— угол между ними, а Как найти вектор по углу и другому вектору— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Как найти вектор по углу и другому вектору,

где Как найти вектор по углу и другому вектору— угол, смежный с углом Как найти вектор по углу и другому вектору. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Как найти вектор по углу и другому вектору.

В случае вычитания векторов (Как найти вектор по углу и другому вектору) происходит сложение вектора Как найти вектор по углу и другому векторус вектором Как найти вектор по углу и другому вектору, противоположным вектору Как найти вектор по углу и другому вектору, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторуи между Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторуявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторуобразуют угол Как найти вектор по углу и другому вектору. Их длины: Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому вектору. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как найти вектор по углу и другому вектору. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как найти вектор по углу и другому вектору.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Как найти вектор по углу и другому вектору.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторуобразуют угол Как найти вектор по углу и другому вектору. Их длины: Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому вектору. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как найти вектор по углу и другому вектору. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как найти вектор по углу и другому вектору.

Пример 3. Даны длины векторов Как найти вектор по углу и другому векторуи длина их суммы Как найти вектор по углу и другому вектору. Найти длину их разности Как найти вектор по углу и другому вектору.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Пример 4. Даны длины векторов Как найти вектор по углу и другому векторуи длина их разности Как найти вектор по углу и другому вектору. Найти длину их суммы Как найти вектор по углу и другому вектору.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому вектору:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Пример 5. Векторы Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторувзаимно перпендикулярны, а их длины Как найти вектор по углу и другому вектору. Найти длину их суммы Как найти вектор по углу и другому векторуи и длину их разности Как найти вектор по углу и другому вектору.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому вектору, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Как найти вектор по углу и другому вектору,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Как найти вектор по углу и другому вектору,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Как найти вектор по углу и другому вектору?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Как найти вектор по углу и другому вектору

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя

векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое

характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.

Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое

равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение векторов формула:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Как найти вектор по углу и другому вектору

Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта

операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.

Скалярное произведение векторов Как найти вектор по углу и другому вектору,Как найти вектор по углу и другому вектору, обозначается так: Как найти вектор по углу и другому вектору Как найти вектор по углу и другому вектору(порядок записи сомножителей не имеет

значения, т.е. Как найти вектор по углу и другому вектору).

Еще используются такие обозначения: Как найти вектор по углу и другому вектору, Как найти вектор по углу и другому вектору, Как найти вектор по углу и другому вектору.

В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е. Как найти вектор по углу и другому вектору

при каждом Как найти вектор по углу и другому вектору. Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным

(неопределенным).

Если хотя бы один из 2 векторов Как найти вектор по углу и другому векторуили Как найти вектор по углу и другому векторуравен нулевому вектору (равен нулю), то Как найти вектор по углу и другому вектору.

Свойства скалярного произведения векторов.

1. Как найти вектор по углу и другому вектору— симметричность.

2. Как найти вектор по углу и другому векторуобозначается Как найти вектор по углу и другому векторуи зовется скалярный квадрат.

3. Если Как найти вектор по углу и другому вектору, то Как найти вектор по углу и другому вектору

4. Если и Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому вектору, то Как найти вектор по углу и другому вектору. Обратное утверждение тоже соответствует

5. Как найти вектор по углу и другому вектору

6. Как найти вектор по углу и другому вектору

7. Как найти вектор по углу и другому вектору

Если же векторы Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому векторузаданы своими координатами: Как найти вектор по углу и другому вектору, Как найти вектор по углу и другому вектору, то: скалярное

произведение векторов, формула:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Формула для определения длины вектора:

Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов

Длина вектора Как найти вектор по углу и другому вектору, заданного своими координатами, равна:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Как определить угол между 2 векторами:

Как найти угол между двумя векторами Как найти вектор по углу и другому вектору, Как найти вектор по углу и другому вектору, формула:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если

же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы

ортогональны.

Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного

произведения двух векторов, заданных своими координатами).

Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте

рассмотрим этот вопрос:

Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:

Исходя из этого, координаты вектора АВ:

Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.

Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:

а) В двухмерном пространстве (плоскость):

Как найти вектор по углу и другому вектору

Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:

Как найти вектор по углу и другому вектору

б) В трехмерном пространстве:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:

Видео:Задание 3 ЕГЭ профиль #121Скачать

Задание 3 ЕГЭ профиль #121

Длина вектора — основные формулы

Время чтения: 16 минут

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

  • Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
  • Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

Как найти вектор по углу и другому вектору

  • Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
  • Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
  • Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
    Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Как найти вектор по углу и другому вектору

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать Как найти вектор по углу и другому вектору.

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор Как найти вектор по углу и другому векторуимеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора Как найти вектор по углу и другому вектору, через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
Как найти вектор по углу и другому векторуВ соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Как найти вектор по углу и другому вектору

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Как найти вектор по углу и другому вектору

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора Как найти вектор по углу и другому векторуполучаем

Как найти вектор по углу и другому вектору

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Когда вектор Как найти вектор по углу и другому векторудан в формате разложения по координатным векторам Как найти вектор по углу и другому вектору, то вычислить его можно по той же формуле Как найти вектор по углу и другому вектору, в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат Как найти вектор по углу и другому вектору, в данной системе координат.

Чтобы рассчитать длину Как найти вектор по углу и другому вектору= (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу

Как найти вектор по углу и другому вектору

Как найти вектор по углу и другому вектору

Ответ: Как найти вектор по углу и другому вектору

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор Как найти вектор по углу и другому вектору=(aₓ ; aᵧ ; a Как найти вектор по углу и другому вектору)

Как найти вектор по углу и другому вектору

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

Как найти вектор по углу и другому вектору

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OAКак найти вектор по углу и другому вектору=a Как найти вектор по углу и другому вектору, а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Как найти вектор по углу и другому вектору

Ответ: Как найти вектор по углу и другому вектору

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор Как найти вектор по углу и другому векторуимеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

Как найти вектор по углу и другому вектору

При этом формула вычисления длины вектора Как найти вектор по углу и другому векторудля трёхмерного пространства, с координатами Как найти вектор по углу и другому векторуи Как найти вектор по углу и другому вектору), будет следующей:

Как найти вектор по углу и другому вектору

Для прямой системы координат, найти длину вектора ( overrightarrow) , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Как найти вектор по углу и другому вектору
Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Как найти вектор по углу и другому вектору
Как найти вектор по углу и другому вектору

Ответ: Как найти вектор по углу и другому вектору

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,(λ^2))

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
( left|vecright|=sqrt)
(=sqrt = sqrt)
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
( sqrt=sqrt )
( 26+left(lambda^2-2right)^2=30 )
( left(lambda^2-2right)^2=4 )
( lambda^2-2=2 ) или ( lambda^2-2=-2 ) ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )
Ответ: ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )

Видео:11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow) и (overrightarrow) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Даны длины двух векторов ( overrightarrow) и ( overrightarrow) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен ( frac ) . необходимо найти длину ( overrightarrow).

В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
( KM^2=AK^2+AM^2-2cdot AKcdot AMcdotcosfrac)
(=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdotcosfrac)
(=4+16-16cosfrac)
(=20-8=12 )
Получается (KM=sqrt )
Ответ: ( left|overrightarrowright|=sqrt )

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vecright|=sqrt) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vecright|=sqrt) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

  • в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
  • в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
  • в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
  • географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.

📽️ Видео

Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)

9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

9 класс, 17 урок, Угол между векторами

Угол между векторамиСкачать

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

105. Угол между векторамиСкачать

105. Угол между векторами

100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

§7 Направляющие косинусы вектораСкачать

§7 Направляющие косинусы вектора

#3 Как найти угол между векторами?Скачать

#3 Как найти угол между векторами?
Поделиться или сохранить к себе: