Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности

Видео:Медианы треугольника пересекаются в точке М. Свойство пересекающихся хорд.Скачать

Медианы треугольника пересекаются в точке М.  Свойство пересекающихся хорд.

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Все, что нужно знать о треугольнике

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиПри решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

  • Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
  • Нанести все данные из условия задачи на чертеж
  • Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
  • Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
  • Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— произвольная сторона треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— высота, опущенная на эту сторону.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

2. Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностии Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— произвольные стороны треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— угол между этими сторонами:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

3. Формула Герона:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

— здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— длины сторон треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— полупериметр треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

4. Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— полупериметр треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— радиус вписанной окружности.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Пусть Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— длины отрезков касательных.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5. Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

6. Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— длины сторон треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— радиус описанной окружности.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиРадиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— медиана, проведенная к стороне Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Высота треугольника

— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности, нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

— здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— длины сторон треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— площадь треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

где Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— длина стороны треугольника, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиc» title=»a+b>c»/> Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиМедианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности, то Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиМедианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностии наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Прямоугольный треугольник

это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

здесь Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— радиус вписанной окружности, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— катеты, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— гипотенуза:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Катет, лежащий против угла Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиравен половине гипотенузы:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностиМедианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— угол при вершине.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностии Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— боковые стороны, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружностии Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— углы при основании. Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Площадь правильного треугольника равна

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности,

где Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности— длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Внешний угол треугольника

— это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Тригонометрические функции внешнего угла:

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности, причем Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности– точка ее пересечения со стороной Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности, Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности– точка ее пересечения со стороной Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности, и Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности– точка ее пересечения с продолжением стороны Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности. Тогда

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ — высота к стороне a угла A

$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  • Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
  • Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
  • Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

  • Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ — высота к стороне a угла A

$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A

Медианы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  • Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
  • Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
  • Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

  • Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

🎬 Видео

9 класс. Геометрия.Скачать

9 класс. Геометрия.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Две медианы треугольника пересекаются по прямым углом.Скачать

Две медианы треугольника пересекаются по прямым углом.

Теорема о трёх медианахСкачать

Теорема о трёх медианах

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥Скачать

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианыСкачать

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы

егэ по математике c4, биссектрисы и медианыСкачать

егэ по математике c4, биссектрисы и медианы

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

ОГЭ. Медианы треугольника и доп. построения! Где я оговорился?Скачать

ОГЭ. Медианы треугольника и доп. построения! Где я оговорился?
Поделиться или сохранить к себе: