Как найти угол между вектором и осью ox

Как найти угол между вектором и осью ox

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Как найти угол между вектором и осью ox

Проекция вектора Как найти угол между вектором и осью oxна ось Как найти угол между вектором и осью oxобозначается через al или Как найти угол между вектором и осью ox, а угол между осью Как найти угол между вектором и осью oxи вектором Как найти угол между вектором и осью oxбудем обозначать так: Как найти угол между вектором и осью oxКак найти угол между вектором и осью ox. Таким образом,

Как найти угол между вектором и осью oxКак найти угол между вектором и осью ox Как найти угол между вектором и осью ox(2)

Если Как найти угол между вектором и осью ox Как найти угол между вектором и осью ox— углы, образованные вектором Как найти угол между вектором и осью oxс координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора Как найти угол между вектором и осью oxна координатные оси будут равны

Как найти угол между вектором и осью oxКак найти угол между вектором и осью ox Как найти угол между вектором и осью ox(3)

В дальнейшем предполагается, что система координат — прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

Как найти угол между вектором и осью ox Как найти угол между вектором и осью ox(4)

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка Как найти угол между вектором и осью ox

Как найти угол между вектором и осью ox

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора Как найти угол между вектором и осью oxна ось Ох обозначена через Как найти угол между вектором и осью oxа проекция вектора Как найти угол между вектором и осью ox— через Как найти угол между вектором и осью ox
Как найти угол между вектором и осью ox
Проекция Как найти угол между вектором и осью ox— число положительное, т. к. угол Как найти угол между вектором и осью oxна рисунке 25, а — острый. Проекция Как найти угол между вектором и осью ox— число отрицательное Как найти угол между вектором и осью oxт. к. угол Как найти угол между вектором и осью oxна рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Как найти угол между вектором и осью ox

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник Как найти угол между вектором и осью oxна рисунке 25, а. Его гипотенуза Как найти угол между вектором и осью oxкатет Как найти угол между вектором и осью oxа угол между ними равен Как найти угол между вектором и осью oxСледовательно,

Как найти угол между вектором и осью ox

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Как найти угол между вектором и осью ox

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства Как найти угол между вектором и осью oxследует равенство для проекций: Как найти угол между вектором и осью oxНе забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Как найти угол между вектором и осью ox

Рассмотрим вектор Как найти угол между вектором и осью oxлежащий в плоскости Как найти угол между вектором и осью ox(рис. 28). Его проекции на оси Как найти угол между вектором и осью oxопределим из рисунка: Как найти угол между вектором и осью ox

Модуль вектора Как найти угол между вектором и осью oxнаходим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Как найти угол между вектором и осью oxРазделив Как найти угол между вектором и осью oxна Как найти угол между вектором и осью oxполучим: Как найти угол между вектором и осью oxПо значению косинуса находим угол Как найти угол между вектором и осью ox

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: Как найти угол между вектором и осью ox(рис. 29).
Как найти угол между вектором и осью ox

Главные выводы:

  1. Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
  2. Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
  3. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
  4. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

Как найти угол между вектором и осью ox

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов Как найти угол между вектором и осью ox(рис. 30). Найдите модули векторов суммы Как найти угол между вектором и осью oxи разности Как найти угол между вектором и осью ox

Решение

Сумму векторов Как найти угол между вектором и осью oxнаходим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы Как найти угол между вектором и осью oxвзаимно перпендикулярны, модуль вектора Как найти угол между вектором и осью oxнаходим по теореме Пифагора: Как найти угол между вектором и осью oxРазность векторов Как найти угол между вектором и осью oxопределим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Как найти угол между вектором и осью ox

Модуль вектора Как найти угол между вектором и осью oxнаходим аналогично:

Как найти угол между вектором и осью ox

Ответ: Как найти угол между вектором и осью ox

Пример №2

Выразите вектор Как найти угол между вектором и осью oxчерез векторы Как найти угол между вектором и осью ox(рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

Как найти угол между вектором и осью ox

По правилу треугольника находим: Как найти угол между вектором и осью oxОтсюда Как найти угол между вектором и осью oxОпределив координаты Как найти угол между вектором и осью oxначальных и конечных точек векторов Как найти угол между вектором и осью oxнаходим проекции этих векторов: Как найти угол между вектором и осью oxКак найти угол между вектором и осью ox

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы: Как найти угол между вектором и осью ox

Ответ: Как найти угол между вектором и осью ox

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Физика
  2. Атомная физика
  3. Ядерная физика
  4. Квантовая физика
  5. Молекулярная физика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Путь и перемещение
  • Равномерное прямолинейное движение
  • Прямолинейное неравномерное движение
  • Прямолинейное равноускоренное движение
  • Колебательное движение
  • Физический и математический маятники
  • Пружинные и математические маятники
  • Скалярные и векторные величины и действия над ними

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Проекция вектора на ось

Вектор может отбрасывать тень (проекцию) на какую-нибудь ось

Как найти угол между вектором и осью ox

Если:

  • вектор параллелен оси, то «его проекция = его длина», пример для вектора ( vec );
  • вектор перпендикулярен оси, то его проекция равна нулю, пример для вектора ( vec );
  • проекция направлена против оси, то её записывают со знаком «-», пример для вектора ( vec ).
  • чем больше вектор наклоняется к оси, тем больше его проекция на эту ось. Сравните проекции векторов ( vec ) и ( vec ).

Примечание:

Длина вектора – это положительная величина, а проекция вектора может быть отрицательной

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Как разложить вектор на проекции

Мы уже находили длину и направление вектора по его координатам.

Теперь решим обратную задачу: пользуясь длиной и направлением вектора, найдем его координаты.

На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если известны:

  • длина вектора и
  • угол между вектором и какой-либо осью (угол обозначается дугой).

Алгоритм действий для разложения вектора на проекции

  1. Проводим прямоугольник так, чтобы вектор стал его диагональю.
  2. Диагональ разделит прямоугольник на треугольники. Эти два треугольника прямоугольные.
  3. Выберем треугольник, в котором угол отмечен дугой.
  4. Дуга одним своим концом всегда касается гипотенузы, а вторым концом – одного из катетов.

Важно! Вектор, который мы раскладываем, всегда является гипотенузой.

Как найти угол между вектором и осью ox

Формулы разложения вектора на проекции

Формулы разложения легко запомнить с помощью фразы:

Гипотенузу умножаем на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).

На языке математики эта фраза запишется так:

[ |vec| cdot cos(alpha) = m_ ]

Катет ( m_ ) – это «x» координата вектора.

Если длину вектора умножим на синус, то получим второй катет:

[ |vec| cdot sin(alpha) = m_ ]

Катет ( m_ ) – это «y» координата вектора.

Обе формулы запишем в виде системы:

[ large boxed <beginleft|vecright| cdot cos(alpha) = m_ \ left|vecright| cdot sin(alpha) = m_ end> ]

Величина ( |vec| ) — это длина вектора ( vec )

🌟 Видео

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Найти угол между лучом ОА и осью ОХ, если А(-1,1)9 класс геометрияСкачать

Найти угол между лучом ОА и осью ОХ, если А(-1,1)9 класс геометрия

Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

21. Угол между прямой и плоскостьюСкачать

21. Угол между прямой и плоскостью

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам.  Направляющие косинусы

Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

100 Угол между векторамиСкачать

100 Угол между векторами

№1019. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координатыСкачать

№1019. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты

11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов
Поделиться или сохранить к себе: