Высота треугольника через косинус

Все формулы для треугольника

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Высота треугольника через косинус

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Высота треугольника через косинус

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Высота треугольника через косинус

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Высота треугольника через косинус

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Высота треугольника через косинус

Формулы для катета, ( b ):

Высота треугольника через косинус

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

Видео:ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном Треугольнике

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Высота треугольника через косинус

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

Формулы длины равных сторон , (a):

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

Видео:Задача 6 №27346 ЕГЭ по математике. Урок 39Скачать

Задача 6 №27346 ЕГЭ по математике. Урок 39

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Высота треугольника через косинус H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Высота треугольника через косинус

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Высота треугольника через косинус

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Высота треугольника через косинус

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42Скачать

Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Высота треугольника через косинус

1. Через площадь и длину стороны

Высота треугольника через косинус

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Высота треугольника через косинус

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Высота треугольника через косинус

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Высота треугольника через косинус

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота треугольника через косинус

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Высота треугольника через косинус

2. Через стороны треугольника

Высота треугольника через косинус

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Высота треугольника через косинус

Высота треугольника через косинус

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Высота треугольника через косинус

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Высота треугольника через косинус.

Высота треугольника через косинус
Высота треугольника через косинус
Высота треугольника через косинус
Высота треугольника через косинус(1)
Высота треугольника через косинус(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Высота треугольника через косинус.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Высота треугольника через косинусНайти Высота треугольника через косинус(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Высота треугольника через косинусВысота треугольника через косинус.
Высота треугольника через косинусВысота треугольника через косинус.
Высота треугольника через косинус, Высота треугольника через косинус.

И, наконец, находим угол C:

Высота треугольника через косинусВысота треугольника через косинус

Видео:В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Высота треугольника через косинус

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Высота треугольника через косинус.
Высота треугольника через косинус.

Далее, из формулы

Высота треугольника через косинус.
Высота треугольника через косинус.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Высота треугольника через косинус.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Высота треугольника через косинуси Высота треугольника через косинус(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Высота треугольника через косинус,
Высота треугольника через косинусВысота треугольника через косинусВысота треугольника через косинус.

Из формулы (3) найдем cosA:

Высота треугольника через косинусВысота треугольника через косинус
Высота треугольника через косинус.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Высота треугольника через косинусВысота треугольника через косинус.

Видео:В треугольнике ABC угол C=90°, СН — высота, BC = 3, косинус A = корень из 35/6. Найдите АН.Скачать

В треугольнике ABC угол C=90°, СН — высота, BC = 3,  косинус A = корень из 35/6. Найдите АН.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Высота треугольника через косинус

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Высота треугольника через косинус.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Высота треугольника через косинус, Высота треугольника через косинус.
Высота треугольника через косинус, Высота треугольника через косинус.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Высота треугольника через косинуси углы Высота треугольника через косинус(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Высота треугольника через косинусВысота треугольника через косинус

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Высота треугольника через косинус
Высота треугольника через косинус

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

🌟 Видео

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),Скачать

№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

В треугольнике ABC AC = BC = 4 корень из 15, синус BAC = 0,25. Найдите высоту AH.Скачать

В треугольнике ABC AC = BC = 4 корень из 15,  синус BAC = 0,25. Найдите высоту AH.

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

В треугольнике ABC AC=BC=27, AH — высота, sin BAC= 2/3 . Найдите BH.Скачать

В треугольнике ABC AC=BC=27, AH — высота,  sin BAC= 2/3 . Найдите BH.
Поделиться или сохранить к себе: