Найти массу четверти окружности (3 видео)

Приложения криволинейных интегралов.

1. Площадь области D, ограниченной замкнутым контуром L, находится по формуле:

( 24)

где направление обхода контура L выбрано так, что область D остается все время слева от пути интегрирования.

2. Пусть L есть плоская кривая с линейной плотностью массы m(x, y),
тогда

а) масса m кривой L вычисляется по формуле

б) координаты центра тяжести кривой L вычисляются по формулам:

( 26)

в) моменты инерции I_x, I_y и I₀ соответственно относительно осей Ox, Oy и начала координат равны:

( 27)

3. Пусть = P(x, y, z) +Q(x, y, z) + R(x, y, z) есть переменная сила, совершающая работу W вдоль пути L, и функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны на кривой L.

( 28)

Найти массу тонкого стержня, имеющего форму линии x 2 + y 2 = 1, y > 0, если его линейная плотность в точке M(x, y) равна m(x, y) = 1 + (1/2)y.

В данном случае линия L есть верхняя половина единичной окружности, которую легко задать параметрически: x = cost, y = sint, 0

Воспользовавшись известными параметрическими уравнениями прямой, запишем уравнения линии, по которой перемещается точка приложения силы:

Þx = 1 + t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t, 0 3 t,
y = asin 3 t, 0

Видео:Найдите массу дуги окружности ➜ Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги)Скачать

Формула Грина. Площадь плоской области. Масса кривой

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Выведем формулу Грина, связывающую криволинейный интеграл по границе L некоторой плоской области D с двойным интегралом по этой области. Теорема 3. Если в замкнутой области D, ограниченной кусочно-гладким контуром L, функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ^ и то справедливо равенство <формула Грина): есь символ § означает интегрирование по границе L области D, причем граница L проходится так, что область D остается слева (рис. 7).

Граница L плоской области D может состоять из одной или нескольких простых замкнутых кривых (компонент). В первом случае она называется односвязной, а во втором — многосвязной. Если граница L состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых L,-, то кривые Li называются связными компонентами границы. На рис. 8 изображена трехсвязная область.

Односвязная область D (область «без дырок») обладаеттем свойством, чтолюбая лежащая в ней замкнутая кривая может быть стянута в точку Р G D, оставаясь в процессе стягивания в области D. Доказательство теоремы проведем для односвязной области. М В силу свойства линейности достаточно доказать, что Формула Грина Площадь плоской области Масса кривой Площадь цилиндрической поверхности Площадь плоской фигуры Обобщение случай пространственной кривой Докажем первую из этих формул.

Предположим сначала, что кривая L пересекается каждой прямой, параллельной оси Оу, не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 9). Если каждая такая прямая пересекает кривую L не более чем в двух точках, то кривую L можно разбить на две части L и Ь2 (верхнюю и нижнюю), каждая из которых проектируется взаимно однозначно на некоторый отрезок [а, Ь оси Ох.

Всилуаддитивности криволинейного интеграла имеем На каждой из кривых L и Li возьмем в качестве параметра абсциссу х и запишем уравнения этих кривых сояветстве нно в виде Тогда По предположению производная непрерывна в D, и значит, в силу известной формулы интегрального исчисления, приращение функции можно записать через интеграл от производной этой функции: Из формул получаем Повторный интеграл в правой части последнего соотношения равен двойному инте-фалу от функции ^ по области D, так что окончательно имеем Формула (2) доказана.

Соотношение (3) доказывается аналогично. Складывая почленно соотношения (2) и (3), получаем формулу Грина (1). Отметим, что формула Грина имеет место и для более сложных контуров L, и для неодносвязных областей D. Рассмотрим, например, случай двухсвязной области (рис. 10). Сделаем разрез А В этой области, превращающий ее в односвязную. Тогда Отсюда, учитывая, что получим где интегрирование по кривой L ведется в направлении против движения часовой стрелки, а по кривой Ь2 — в направлении движения часовой стрелки.

Отметим, что при этом кривые L и Ь2 проходятся так, что область D остается слева. Такое направление обхода контура принимается за положительное. Площадь плоской области Возьмем Тогда по формуле Грина (1) получаем где 5 — площадь области D. Отсюда получаем формулу для вычисления площади 5 плоской области D с помощью криволинейного интеграла по границе L этой области: (7) Прммр. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом L: Запишем уравнение эллипса в параметрической форме .

Искомая площадь находится по формуле (7), где криволинейный интеграл берется по эллипсу при обходе контура в положительном направлении, что соответствует изменен ик> параметра t от 0 до 2я. Так как то отсюда получаем, что Замечание. Пусть в пространстве задана ориентированная кусочно-гладкая кривая AD и пусть, кроме того, в некоторой области П, содержащей кривую AD, задана вектор-функция — непрерывные в О функции.

Аналогично плоскому случаю криволинейный интеграл от вектор-функции F по ориентированной кривой АВ определим выражением Масса кривой В примере 1 из § 1 было показано, что масса кривой L вычисляется с помощью интеграла 1-го рода где /(М) — переменная линейная плотность на кривой L. (Мы предполагаем, что f(M) — непрерывная фунмция на АВ.) 4.2. Площадь цилиндрической поверхности Пусть в плоскости хОу задана некоторая спрямляемая (т. е. имеющая длину) кривая АВ и на этой кривой определена непрерывная функция f(M) ^ 0.

Тогда совокупность точек (х, у, f(x, у)), или (М, /(М)), составит некоторую кривую, лежащую на цилиндрической поверхности, для которой кривая АВ является направляющей, а ее образующая параллельна оси Oz.

Требуется определить площадь цилиндрической поверхности ABDC, о»раниченной снизу кривой АВУ сверху — кривой z — f(M), где М € АВ, и вертикальными прямыми АС и BD (рис. 11). Для решения этой задачи поступим так: 1) разобьем кривую АВ на п частей точками так, как показано на рис. 11; 2) из каждой точки Мк проведем перпендикуляр к плоскости хОу высотой f(Mk) (при этом цилиндрическая поверхность А В DC разобьется на п полосок);

3) кажаую полоску заменим прямоугольником с основанием — длина дуги МкМк+, и высотой, равной значению функции /(М) в какой-нибудь точке этой дуги, например, в точке Мк. Тогда площадь fc-ой полоски будет приближенно равна. а площадь всей поверхности ABDC Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче будут частичные дуги , на которые разбита кривая АВ. Пусть Д/ — наибольшая из длин А1к частичных .цт .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Тогда при 0 в пределе получим точное значение искомой площади Предел справа по определению есть криволинейный интеграл первого рода от функции /(Af) по кривой АВ. Итак, (2) Пример 1. Вычислить площадь части боковой поверхности цилиндра срезанного сверху поверхностью Сведем задачу к вычислению криволинейного интеграла t-ro рода от функции вдоль дуги окружности, расположенной в первой четверти. Будем иметь Параметрические уравнения линии Формула Грина Площадь плоской области Масса кривой.

Площадь цилиндрической поверхности Площадь плоской фигуры Обобщение случай пространственной кривой Площадь плоской фигуры Ранее мы установили, что площадь 5 плоской фигуры D, ограниченной линией L, вычисляется по формуле Правая часть есть криволинейный интеграл 2-го рода. 4.4. Работа силы Пусть в некоторой плоской области D, содержащей кривую АВУ задана сила где функции , а следовательно, и F(М) предполагаются непрерывными функциями точки ЛГ.

Требуется найти работу силы F, если под действием этой силы материальная точка М, имеющая единичную массу, переместилась из точки А в точку В по кривой АВ. Для решения этой задачи разделим кривую АВ на п частей точками (рис. 12), заменим каждую дугу хордой , предполагая для простоты , что на участке кривой (а значит, и на хорде сила Ffc имеет постоянное значение, например, равное ее значению в точке получим приближенное выражение работы силы на участке пути где — длина вектора — длина вектора.

Из формулы (4) с учетом (5) получим или Так как правая частьформулы (6) есть скалярное произведение векторов то, учитывая (7) и (8), будем иметь Суммируя по всем значениям , получим величину принимают за точное значение работы. Но с другой стороны, предел этой суммы есть криволинейный интеграл 2-го рода от вектор-функции F(M) по кривой АВ.

Итак, работа силы вычисляется по формуле Рис. 12 ( Пример 2. Найти работу силы при перемещении единичной массы по параболе 4 Применим формулу (9), положив в ней Так как то искомую работу можо вычислить так: Обобщение на случай пространственной кривой (рис. 14). Если в некоторой пространственной области П, содержащей пространственную кривую АВ, задана сила — непрерывные функции в области П, то рабога, совершаемая силой F(M) по перемещению материальной точки М с единичной массой из точки А в точку В по пространственной кривой АВ, равна Упражнения.

Вычислите криволинейные интегралы 1-го рода: 1. — четверть элл ипса ^ + = 1, л ежащая в первом квадранте. — окружность — отрезок прямой, соединяющий точки отреэо к прямой, соединяющий точки (— дуга параболы у2 = 2х от точки (0,0) до точки (I, первый виток винтовой линии Найдите длину дуги конической винтовой линии х — ас* cost, у = от точки .до точки 2?(а,0,а). Указание: точке А соответствует- значение параметра t( = -оо, а точке В — значение t2 = 0. 8. Найдите площадь боковой поверхности кругового цилиндра, находящейся под первым витком винтовой линии и выше плоскости z = 0. 9.

Найдите координаты центра тяисести

однородной полуарки циклоиды Вычислите криволинейные интегралы 2-го рода: дуга кривой у = х3 отточки (0,0) до точки верхняя половина эллипса , пробегаемая против хода часовой стрелки. где точки соединены кривой Ч2Г при . — дуга первой арки циклоиды пробегаемая в направлении возрастания параметра t. — окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки. Указание . Используйте параметрические уравнения окружности. — виток винтовой линии — ломаная с вершинами 17.

Найдите массу дуги AB кривой у = lnz, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки, причем . 18. Найдите длину дуги кривой j между ее точками пересечения с осями координат. 19. Найдите площадь, ограниченную астроидой 20. Найдите работу силового поля j, когда точка массы m описывает окружность х = а соs t, у = a sin t, двигаясь по ходу часовой стрелки. 21. Поле образовано силой .

Вычислите работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами Применив формулу Пэина, вычислите интегралы в задачах 22-24: по контуру ЬАВС с вершинами по контуру фигуры, ограниченной линиями у вдоль единичной окружности в положительном направлении Формула Грина Площадь плоской области Масса кривой Площадь цилиндрической поверхности.

Площадь плоской фигуры Обобщение случай пространственной кривой — вдоль контура квадрата с вершинами в точках Л(1,0), при положительном направлении обхода. Ответы Указание. Перейдите к полярным координатам. Указание. Воспользуйтесь формулами (в зависимости от направления обхода).. Указание. Данный интеграл несобстве нный, так как в точках пересечения контура интегрирования с прямой х + у = 0 подынтегральн ос выражение принимает вид g. Формулу фина применять нельзя.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Найти массу четверти окружности

1. Вычисление объема тела

Пусть функция f ( x ; y ) ≥ 0. Рассмотрим тело, ограниченное поверхностью z = f ( x ; y ), плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0 z , а направляющей служит граница области D . Как было показано выше, согласно формуле (6.3) объем данного тела равен

Пример 6.9. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом z = x 2 + y 2 + 1, плоскостью x + y –3=0 и координатными плоскостями.

Решение. Основанием тела служит треугольник ОАВ. Область D в данном случае определяется неравенствами:

2. Вычисление площади плоской фигуры

Если положить в формуле (6.18) f ( x , y )=1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой h = 1. Объем такого цилиндра,

как известно, численно равен площади S основания D . Получаем формулу для вычисления площади S области D :

или, в полярных координатах,

Пример 6.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y = 2 x + 1 и параболой y = x 2 + 1.

Решение. Решая совместно систему

Применяя формулу (6.19), будем иметь:

Решение. Переходим к полярной системе координат, полагая x = r cos φ и y = r sin φ ; тогда получаем

3. Вычисление массы плоской фигуры (пластины)

Масса плоской пластинки D с переменной плотностью γ =γ ( x , y ) находится по формуле

4. Определение статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей 0 x и 0 y могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры – по формулам

Статические моменты широко используются в сопротивлении материалов и других технических науках.

5. Определение моментов инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т.е. . Моменты инерции плоской фигуры относительно 0 x и 0 y могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат – по формуле

Пример 6.12 . Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Решение. По формуле (6.21) находим массу пластины. По условию, γ =γ ( x , y )= k ∙ xy , где k – коэффициент пропорциональности.Тогда

Находим статические моменты пластинки по формулам (6.22):

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы (6.23):

6. Поверхностный интеграл I рода

Обобщением двойного интеграла является поверхностный интеграл. Пусть в трехмерном пространстве О xyz в точках некоторой поверхности площади S определена непрерывная функция u = f ( x ; y ; z ). Разобьем поверхность на конечное число n частей S_i , площади которых равны ∆ S_i , а диаметры – d_i , . Выберем в каждой части S_i произвольную точку M_i ( x_i ; y_i ; z_i ) и составим сумму произведений вида

Она называется интегральной суммой для функции f ( x ; y ; z ) по поверхности S . Если при интегральная сумма (6.26) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения поверхности S, ни от выбора точек M_i ( x_i ; y_i ; z_i ), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f ( x ; y ; z ) по поверхности S и обозначается . Следовательно,

Теорема 6.3 (о существовании поверхностного интеграла). Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f ( x ; y ; z ) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует

Формула (6.28)

выражает интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость x 0 y . Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида y=y(x;z) или x=x(y;z), то аналогично получим:

где D ₁ и D ₂ – проекции поверхности S на координатные плоскости xО z и y О z соответственно.

Пример 6.13. Вычислить , где S – часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями z = 0 и z = 3.

Решение . Из уравнения заданной цилиндрической поверхности выразим и учтём, что при x = 0 в плоскости x О y : . Так как частные производные равны , то согласно формуле (6.30), имеем

6.1. Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = f ( x ; y ), a ее проекция на плоскость x 0 y есть область D , в которой z = f ( x ; y ), z_x ( x ; y ) и z_y ( x ; y ) – непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле:

Пример 6.14. Вычислить площадь части плоскости x + y + z = 4, вырезаемой цилиндром x 2 + y 2 = 4 (рис. 6.10).

Чтобы вычислить этот интеграл, введём полярные координаты. Область D определяется: . Следовательно,

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы γ =γ ( x ; y ; z ) . Все эти величины определяются одним и тем же способом:

– данную область разбивают на конечное число мелких частей;

– делают для каждой такой части предположения, упрощающие задачу;

– находят приближенное значение искомой величины;

– переходят к пределу при неограниченном измельчении разбиения области.

Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

6.2. Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть γ =γ ( x ; y ; z ) . Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность S на n частей S_i , , площадь которых обозначим ∆ S_i .

2. Выберем произвольную точку M_i ( x_i ; y_i ; z_i ) в каждой области S_i . Предполагаем, что в переделах области S_i плотность постоянна и равна её

4. Суммируя m_i по всей области, получаем: .

5. За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей S_i , то есть

6.3. Моменты и центр тяжести поверхности. С татические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:

Пример 6.15. Вычислить координаты центра тяжести однородной поверхности параболоида z = x 2 + y 2 , ограниченной плоскостью z = 1.

Решение. Вершина заданного параболоида совпадает с началом координат. Так как поверхность однородная (постоянная плотность массы), то, основываясь на ее симметрии, можно сделать вывод, что центр тяжести расположен на оси 0 z . Тогда x_c = 0, y_c = 0 и по формуле (6.36) аппликата . Пересечем параболоид поверхностью z = 1, спроектируем линию пересечения на плоскость x 0 y – получим окружность x 2 + y 2 =1 в качестве области D . Вычислим элемент поверхности параболоида z = x 2 + y 2 по формуле (6.31), учитывая, что :