Как найти угол между параллельными прямыми

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание
  1. Предупреждение
  2. 1. Угол между прямыми на плоскости
  3. Прямые заданы каноническими уравнениями
  4. 1.1. Определение угла между прямыми
  5. 1.2. Условие параллельности прямых
  6. 1.3. Условие перпендикулярности прямых
  7. Прямые заданы общими уравнениями
  8. 1.4. Определение угла между прямыми
  9. 1.5. Условие параллельности прямых
  10. 1.6. Условие перпендикулярности прямых
  11. 2. Угол между прямыми в пространстве
  12. 2.1. Определение угла между прямыми
  13. 2.2. Условие параллельности прямых
  14. 2.3. Условие перпендикулярности прямых
  15. 4.3. Угол между направлениями. Параллельные прямые
  16. Угол между прямыми
  17. Определение угла между прямыми
  18. Угол между прямыми на плоскости
  19. Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
  20. Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
  21. Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
  22. Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
  23. Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
  24. Угол между прямыми в пространстве
  25. 🔥 Видео

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как найти угол между параллельными прямыми,(1.1)
Как найти угол между параллельными прямыми,(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Как найти угол между параллельными прямыми,
Как найти угол между параллельными прямыми,(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Как найти угол между параллельными прямымиКак найти угол между параллельными прямыми.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.5)
Как найти угол между параллельными прямыми.(1.6)
Как найти угол между параллельными прямыми.

Упростим и решим:

Как найти угол между параллельными прямыми.
Как найти угол между параллельными прямыми

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как найти угол между параллельными прямыми

Угол между прямыми равен:

Как найти угол между параллельными прямыми

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Как найти угол между параллельными прямыми,
Как найти угол между параллельными прямыми,
Как найти угол между параллельными прямымиКак найти угол между параллельными прямыми,
Как найти угол между параллельными прямыми,
Как найти угол между параллельными прямыми,
Как найти угол между параллельными прямыми.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.10)
Как найти угол между параллельными прямыми.(1.11)
Как найти угол между параллельными прямыми, Как найти угол между параллельными прямыми.

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми(1.14)
Как найти угол между параллельными прямыми.(1.15)
Как найти угол между параллельными прямыми.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Как найти угол между параллельными прямыми(1.17)
Как найти угол между параллельными прямыми.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Как найти угол между параллельными прямыми.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.19)

Из уравнения (19) получим

Как найти угол между параллельными прямымиКак найти угол между параллельными прямыми.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)
x1+3x2−1=0.(1.22)
Как найти угол между параллельными прямыми(23)
Как найти угол между параллельными прямыми

Упростим и решим:

Как найти угол между параллельными прямыми
Как найти угол между параллельными прямыми

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как найти угол между параллельными прямыми

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Как найти угол между параллельными прямыми.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)
2x+8y−14=0.(1.30)

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как найти угол между параллельными прямыми,(2.1)
Как найти угол между параллельными прямыми,(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Как найти угол между параллельными прямыми,(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Как найти угол между параллельными прямымиКак найти угол между параллельными прямыми.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как найти угол между параллельными прямыми.(2.5)
Как найти угол между параллельными прямыми(2.6)
Как найти угол между параллельными прямымиКак найти угол между параллельными прямыми.
Как найти угол между параллельными прямыми.

Упростим и решим:

Как найти угол между параллельными прямыми.
Как найти угол между параллельными прямыми

Угол между прямыми равен:

Как найти угол между параллельными прямыми

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Как найти угол между параллельными прямыми(2.8)

Отметим, что любую пропорцию Как найти угол между параллельными прямыминужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми.(2.9)
Как найти угол между параллельными прямыми.(2.10)
Как найти угол между параллельными прямыми, Как найти угол между параллельными прямыми, Как найти угол между параллельными прямыми.

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми.(2.11)
Как найти угол между параллельными прямыми.(2.12)
Как найти угол между параллельными прямыми.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как найти угол между параллельными прямыми, Как найти угол между параллельными прямыми, Как найти угол между параллельными прямыми.(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Как найти угол между параллельными прямыми.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как найти угол между параллельными прямыми.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как найти угол между параллельными прямыми(2.17)
Как найти угол между параллельными прямыми.(2.18)
Как найти угол между параллельными прямымиКак найти угол между параллельными прямыми.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

4.3. Угол между направлениями. Параллельные прямые

Для того чтобы мы могли определить угол между двумя лучами, они вовсе необязательно должны иметь общее начало. В самом деле, каждый луч, независимо от того, где он начинается, задает какое-то направление на плоскости, а различие между двумя направлениями характеризуется не чем иным, как углом — точнее говоря, угловым расстоянием или, с учетом знака, угловым смещением.

Рассмотрим лучи и с общим началом в точке O. Обозначим угол между ними через γ . Давайте, однако, договоримся, что здесь и далее в этих рассуждениях под «углом» мы будем понимать не угловое расстояние, а угловое смещение, которое может быть положительным или отрицательным. Об этом на рисунках нам будет напоминать стрелка у дуги, обозначающей угол:

Как найти угол между параллельными прямыми

Пусть на луче OA между O и A задана произвольная точка A0, а на луче OB между O и B — произвольная точка B0. Очевидно, что угол между лучами A0A и B0B тоже равен γ , хотя на этот раз лучи исходят не из одной точки.

Как найти угол между параллельными прямыми

Этот угол мы могли бы найти и другим способом. Проведем через точки A0 и B0 прямую и отметим на ней точки A1 и B1, как показано на рисунке:

Как найти угол между параллельными прямыми

Измерим углы ∠A1A0A и ∠A1B0B и обозначим результаты наших измерений через α и β соответственно. Эти углы (а точнее — угловые смещения) отсчитываются от одного и того же направления, задаваемого лучом B0A1. Очевидно, что угол γ можно вычислить как

Пусть теперь на плоскости нам даны два произвольных луча B0B и A0A. Опираясь на предыдущие рассуждения, мы всегда можем найти угол γ между ними одним из следующих двух способов.

Первый способ. Восстановить исходные лучи до полных прямых, найти точку их пересечения и непосредственно измерить угол γ между подходящими лучами, начинающимися в этой точке:

Как найти угол между параллельными прямыми

Второй способ. Провести прямую через точки A0 и B0, измерить образовавшиеся углы α и β и вычислить угол γ по формуле γ = βα .

Как найти угол между параллельными прямыми

Необходимо отметить, что второй способ работает всегда, а с первым способом могут возникнуть проблемы. Это случается, в частности, тогда, когда углы α и β в точности равны друг другу:

Как найти угол между параллельными прямыми

В этом случае угол γ , вычисляемый по формуле γ = βα , обращается в нуль. А это означает, что прямые, восстановленные из лучей B0B и A0A, нигде не пересекаются.

Как найти угол между параллельными прямыми

Действительно, если бы они пересекались, то угол γ можно было бы измерить в точке пересечения непосредственно, но тогда он оказался бы отличен от нуля.

Пусть две несовпадающие прямые принадлежат одной плоскости и на них лежат лучи, угол между которыми равен нулю. Про такие прямые говорят, что они параллельны друг другу. Важнейшее свойство параллельных прямых заключается в том, что они нигде не пересекаются.

Вернемся к задаче о нахождении угла γ между двумя произвольными лучами B0B и A0A с началом в разных точках. Мы только что рассмотрели особый случай, когда этот угол равен нулю. Про лучи, угловое расстояние между которыми равно нулю, говорят, что они сонаправлены или параллельны. Возможен другой особый случай, когда угол γ , рассчитанный по формуле γ = βα , оказывается равен 180° или −180°:

Как найти угол между параллельными прямыми

Такие лучи называются противонаправленными или антипараллельными. Несложно видеть, что прямые, восстановленные из этих лучей, параллельны друг другу и, таким образом, этот случай очень похож на предыдущий.

Постороение параллельных прямых

Пусть на листе бумаги начерчена некоторая прямая n и мы хотим провести другую прямую, параллельную первой. Делается это так. Совместим с прямой n одну из сторон чертежного треугольника. К другой стороне треугольника приставим линейку. Прочно держим линейку одной рукой и передвигаем треугольник другой рукой, скользя им вдоль линейки. После этого проводим линию по той стороне треугольника, которую первоначально мы приставляли к исходной прямой n. Новая линия образует тот же угол с линейкой, что и прямая n, а значит, обе линии параллельны друг другу.

Как найти угол между параллельными прямыми

Если мы хотим, чтобы новая прямая прошла через какую-то определенную точку, то мы всегда это может сделать, остановив скольжение угольника вдоль линейки в подходящем месте.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Угол между прямыми

Видео:9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

Определение угла между прямыми

Как найти угол между параллельными прямыми

Видео:10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Как найти угол между параллельными прямыми

Соответственно легко найти угол между прямыми

tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Как найти угол между параллельными прямыми

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b

то вектор направляющей имеет вид

Если уравнение прямой задано как

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .

Если дано каноническое уравнение прямой

то вектор направляющей имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Как найти угол между параллельными прямыми

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано как

то вектор нормали имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то вектор нормали имеет вид

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Как найти угол между параллельными прямыми

sin φ = | a · b | | a | · | b |

Видео:Углы между секущими и параллельными прямымиСкачать

Углы между секущими и параллельными прямыми

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Как найти угол между параллельными прямыми

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1

Как найти угол между параллельными прямыми

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор , для второй прямой направляющий вектор

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )

x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Угол между прямыми в пространстве

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если дано каноническое уравнение прямой

то направляющий вектор имеет вид

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b z = n t + c

то направляющий вектор имеет вид

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то — направляющий вектор первой прямой, направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор .

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3

3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3

— направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205

🔥 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямыми

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.

Определение угла между пересекающимися прямыми (способ вращения) / Rotation method.Скачать

Определение угла между пересекающимися прямыми (способ вращения) / Rotation method.

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 классСкачать

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 класс

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Углы между параллельными прямыми и секущей | Геометрия | АлгебраСкачать

Углы между параллельными прямыми и секущей  |  Геометрия | Алгебра
Поделиться или сохранить к себе: