Найти вектор значений функции

Булевой функцией y=f(x₁, x₂ . x_n) от п переменных x₁, x₂, x_n называется любая функция, в которой аргументы и функция могут принимать значение либо 0 либо 1, т.е. булева функция это правило по которому произвольному набору нулей и единиц (x₁, x₂ . x_n) ставится в соответствие значение 0 или 1.

Булевы функции называются также функциями алгебры логики, двоичными функциями и переключательными функциями.

Булеву функцию от n переменных можно задать таблицей истинности, в которой наборы значений аргументов расположены в порядке возрастания их номеров: сначала идет набор, представляющий собой двоичное разложение 0 (этот набор имеет номер 0); затем идет набор, являющийся двоичным разложением 1, потом 2, 3 и т.д. Последний набор состоит из n единиц и является двоичным разложением числа 2 n -1 (такой порядок расположения наборов назовем лексикографическим порядком). Учитывая, что отсчет начинается с 0, а значение булевой функции может быть либо 0 либо 1, заключаем, что существует всего 2 2 n различных булевых функций от n переменных. Таким образом, имеется, например, 16 булевых функций от двух переменных, 256 — от трех и т. д.

Пример (голосование): Рассмотрим устройство, фиксирующее принятие некоторой резолюции «комитетом трех». Каждый член комитета при одобрении резолюции нажимает свою кнопку. Если большинство членов голосуют «за», то резолюция принимается. Это фиксируется регистрирующим прибором. Таким образом, устройство реализует функцию f(x,y,z), таблица истинности которой имеет вид:

Булева функция также однозначно задается перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 0, либо перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 1.Полученную в примере функцию f можно также задать следующей системой равенств: f(0,0,0) = f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(1,0,0) = 0.

Вектором значений булевой функции y=f(x₁, x₂ . x_n) называется упорядоченный набор всех значений функции f, при котором значения упорядочены по лексикографическому порядку. Например, пусть функция трех переменных f задана вектором значений (0000 0010) и необходимо найти набор, на котором f принимает значение 1. Т.к. 1 стоит на 7 месте, а нумерация в лексикографическом порядке начинается с 0, то необходимо найти двоичное разложение 6. Таким образом, функция f принимает значение 1 на наборе (110).

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Вектор-функции

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Предел и непрерывность вектор-функции.

Понятие вектор-функции.

Если каждому значению (tin E), где (Esubsetmathbb), поставлен в соответствие вектор (r(t)) трехмерного пространства, то говорят, что на множестве (E) задана векторная функция (r(t)) скалярного аргумента (t).

Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система координат (Oxyz). Тогда задание вектор-функции (r(t), tin E), означает задание координат (x(t), y(t), z(t)) вектора (r(t), tin E). Если (i,j,k) — единичные векторы координатных осей, то
$$
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,qquad tin E,nonumber
$$
или
$$
r(t)=(x(t),y(t),z(t)).nonumber
$$
Если (z(t)=0) при всех (tin E), то вектор-функцию (r(t)) называют двумерной.

В случае, когда начало каждого из векторов (r(t)) совпадает с началом координат (рис. 21.1), эти векторы называют радиус-векторами, а множество их концов — годографом вектор-функции (r(t)), (tin E), который можно рассматривать как траекторию точки (M(t)) конца вектора (r(t)), если считать, что (t) — время.

Предел вектор-функции.

Вектор (a) называют пределом вектор-функции (r(t)) в точке (t_0) и пишут (displaystyle lim_<trightarrow t_>r(t)=a) или (r(t)rightarrow a) при (trightarrow t_0), если
$$
lim_<trightarrow t_> |r(t)-a|=0,label
$$
то есть длина вектора (r(t)-a) стремится к нулю при (trightarrow t_0).

Рис. 20.1

Если заданы (r(t)=(x(t),y(t),z(t))) и (a=(a_,a_,a_)), то
$$
lim_<trightarrow t_>r(t)=alabel
$$
тогда и только тогда, когда
$$
x(t)rightarrow a_1, y(t)rightarrow a_2, z(t)rightarrow a_3quad при trightarrow t_0.label
$$

Поэтому, если (r(t)rightarrow a) при (trightarrow t_0), то есть выполняется условие eqref, то выполняется условие eqref.

Обратно: если выполняются условия eqref, то из равенства eqref следует, что выполнено условие eqref. (bullet)

При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно использовать следующее очевидное утверждение: условие eqref выполняется в том и только том случае, когда
$$
r(t)=a+alpha(t),nonumber
$$
где (alpha(t)) — бесконечно малая вектор-функция, то есть
$$
alpha(t)rightarrow 0quad mbox trightarrow t_.nonumber
$$

Свойства пределов вектор-функций.

(circ) Это свойство следует из неравенства
$$
||r(t)|-|a|| leq |r(t)-a|.qquad bulletnonumber
$$

Если (r(t)rightarrow a) при (trightarrow t_), а скалярная функция (f(t)) такова, что (f(t)rightarrow A) при (trightarrow t_), то (f(t)r(t)rightarrow Aa) при (trightarrow t_), то есть
$$
lim_f(t)r(t)=lim_<trightarrow t_>f(t)lim_r(t).label
$$

(circ) Из определений пределов скалярной функции и вектор-функции следует, что (r(t)=a+alpha(t), f(t)=A+beta(t)), где (alpha(t)) — бесконечно малая вектор-функция, (beta(t)) — бесконечно малая функция при (trightarrow t_0). Поэтому (f(t)r(t)=Aa+gamma(t)), где (gamma(t)=Aalpha(t)+beta(t)a+beta(t)alpha(t)) — бесконечно малая вектор-функция при (trightarrow t_0), откуда получаем равенство eqref. (bullet)

(circ) По условию (r_(t)=a_+alpha_), где (a_i(t)rightarrow 0) при (trightarrow t_ (i=1,2)). Поэтому (r_1(t)+r_2(t)=a_1+a_2+beta(t)), где (beta(t)=alpha_(t)+alpha_2(t)rightarrow 0) при (trightarrow t_), откуда следует eqref. Докажем формулу eqref. В силу свойств скалярного произведения
$$
(r_(t),r_2(t))-(a_1,a_2)=(alpha_(t),a_)+(alpha_(t),a_1)+(alpha_1(t),alpha_2(t)),nonumber
$$
причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функция, так как (alpha_(t),alpha_(t)) — бесконечно малые вектор-функции и (|(p,q)| leq |p|cdot|q|) для любых векторов (p) и (q).

Аналогично доказывается формула eqref, в этом случае следует воспользоваться неравенством (|[p,q]| leq |p|cdot|q|). (bullet)

Непрерывность вектор-функции.

Вектор-функцию (r(t)) называют непрерывной при (t=t_), если
$$
lim_<trightarrow t_>r(t)=r(t_0).label
$$
Непрерывность вектор-функции (r(t)=(x(t),y(t),z(t))) при (t=t_) в силу эквивалентности условий eqref и eqref означает, что ее координаты (x(t),y(t),z(t)) непрерывны в точке (t_).

Назовем вектор-функцию (Delta r=r((t_0+Delta t)-r(t_0)) приращением вектор-функции (r(t)) в точке (t_). Тогда условие eqref означает, что
$$
Delta rrightarrow 0quad приquad Delta trightarrow 0.label
$$

Из определения непрерывности вектор-функции и свойств пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярное произведения вектор-функций (r_1(t)) и (r_2(t)) являются непрерывными функциями при (t=t_), если вектор-функции (r_1(t)) и (r_2(t)) непрерывны в точке (t_).

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Производная и дифференциал вектор-функции.

Производная вектор-функции.

Если существует (displaystyle lim_frac) где (Delta r=r(t_0+Delta t)-r(t_0)), то этот предел называют производной вектор-функции (r(t)) в точке (t_0) и обозначают (r'(t_0)) или (dot(t_0)).

Таким образом,
$$
r'(t_)=lim_frac<r(t_+Delta t)-r(t_)>.label
$$
Аналогично вводится понятие второй производной
$$
r″(t_)=lim_frac<r'(t_+Delta t)-r'(t_)>nonumber
$$
и производной порядка (n > 2) вектор-функции. Заметим, что если (r(t)=(x(t),y(t),z(t))), то
$$
r'(t_)=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))label
$$
Утверждение eqref следует из определения eqref и свойств пределов вектор-функций.

Аналогично, если существует (r″(t_)), то
$$
r″(t_)=(x″(t_0),y″(t_0),z″(t_0)).nonumber
$$
Из определения производной следует, что (Delta r=r'(t_0)Delta t+alpha(Delta t)Delta t), где (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0), и потому (Delta rrightarrow 0) при (Delta trightarrow 0). Таким образом, выполняется условие eqref, то есть вектор-функция (r(t)), имеющая производную в точке (t_), непрерывна при (t=t_).

(circ) Формулы eqref-eqref справедливы в точке (t), если в этой точке соответствующие функции имеют производные. Ограничимся доказательством формулы eqref. Пусть (Delta r_) — приращение вектор-функции (r_k(t)), соответствующее приращению аргумента (Delta t), то есть (Delta r_k=r_k(t+Delta t)-r_k(t), k=1,2). Тогда, используя свойства скалярного произведения и свойства пределов вектор-функций, получаем
$$
begin
(r_,r_)’=displaystylelim_frac<(r_(t+Delta t),r_(t+Delta t))-(r_(t),r_(t))>=\
=lim_left[left(r_(t),frac<Delta r_(t)>right)+left(frac<Delta r_(t)>,r_2(t)right)+left(frac<Delta r_(t)>,Delta r_2(t)right)right]=\
=(r_1,r_2′)+(r_1′,r_2),
endnonumber
$$
так как (displaystyle frac<triangle mathrm_>rightarrow r_‘(t)) при (Delta trightarrow 0 (i=1,2)) и (Delta r_2rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0). (bullet)

Пусть существует (r'(t)) для всех (tin(alpha,beta)) и пусть (|r(t)|=C=const) для всех (tin(alpha,beta)).

Доказать, что ((r(t),r'(t))=0), то есть векторы (r(t)) и (r'(t)) ортогональны.

(triangle) Используя формулу (|r(t)|^2=(r(t),r(t))), правило дифференцирования скалярного произведения (формула eqref) и условие (|r(t)|=C), получаем ((r(t),r(t))’=2(r'(t),r(t))=0), так как (|r(t)|^)’=(C^)’=0). Итак,
$$
|r(t)|=CRightarrow (r(t),r'(t))=0.quadblacktrianglenonumber
$$

Дифференциал вектор-функции.

Вектор-функцию (r(t)), определенную в некоторой окрестности точки (t_), называют дифференцируемой при (t=t_), если ее приращение (Delta r=r(t_+Delta t)-r(t_)) в точке (t_) представляется в виде
$$
Delta r=aDelta t+Delta talpha(Delta t),label
$$
где вектор (a) не зависит от (Delta t), (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0).

Полагая (dt=Delta t), запишем равенство eqref в виде
$$
dr=r’dt,nonumber
$$
где опущено обозначение аргумента функции (r’). Отсюда получаем
$$
r’=frac

.label (21)
$$

Замена переменного.

Если функция (t=t(s)) дифференцируема при (s=s_, t(s_)=t_), а вектор-функция (r(t)) дифференцируема в точке (t_), то вектор-функция (rho(s)=r(t(s))) дифференцируема в точке (s_), а производная этой функции выражается формулой
$$
rho’ (s_0)=r_s'(t(s_0))=r_'(t_)t_‘(s_),label
$$

где индекс указывает, по какому переменному производится дифференцирование.

(circ) Функция (alpha(Delta(t))) в формуле eqref не определена при (Delta t=0). Доопределим ее при (Delta t=0), полагая (alpha(0)=0).

Так как (t=t(s)) — функция, дифференцируемая при (s=s_0), то (Delta t=t(s_+Delta s)-t(s_)rightarrow 0) при (Delta srightarrow 0). Разделив обе части равенства eqref на (Delta sneq 0), получим
$$
frac=r'(t_0)frac+alpha(Delta t)frac.label
$$
Правая часть eqref имеет при (Delta srightarrow 0) предел, равный (r'(t_0)t'(s_0)), так как (Delta trightarrow 0) при (Delta srightarrow 0) и (alpha(Delta t)rightarrow 0) при (Delta trightarrow 0). Следовательно, существует предел в левом части eqref, и справедливо равенство eqref. Формулу eqref запишем кратко в виде равенства
$$
r_’=r_’t_’,label
$$
выражающего правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного. (bullet)

Видео:Область значений функцииСкачать

Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора для вектор-функции.

Формула Лагранжа, то есть формула
$$
r(beta)-r(alpha)=r'(xi)(beta-alpha),quad xiin(alpha,beta),label
$$
для вектор-функции, вообще говоря, неверна.

(circ) В самом деле, пусть формула eqref верна, и пусть (r(t)=(cos t,sin t)), тогда (r'(t)=(-sin t,cos t), |r'(t)|=1). Полагая (alpha=0,beta=2pi), получим из равенства eqref (0=r(2pi)-r(0)=r'(xi)2pi), что невозможно, так как (|r'(xi)|=1). (bullet)

Если вектор-функция (r(t)) непрерывна на отрезке ([alpha,beta]) и дифференцируема на интервале ((alpha,beta)), то
$$
existsxiin(alpha,beta): |r(beta)-r(alpha)|leq|r'(xi)|(beta-alpha).label
$$

(circ) Рассмотрим скалярную функцию
$$
varphi(t)=(r(beta)-r(alpha),r(t)).nonumber
$$
эта функция непрерывна на отрезке ([alpha,beta]), так как вектор-функция (r(t)) непрерывна на этом отрезке. Кроме этого, функция (varphi(t)) дифференцируема на интервале ((alpha,beta)), так как функция (r(t)) дифференцируема этом интервале, причем в силу правила дифференцирования скалярного произведения
$$
varphi'(t)=(r(beta)-r(alpha),r'(t)).nonumber
$$
По теореме Лагранжа
$$
existsxiin(alpha,beta): varphi(beta)-varphi(alpha)=varphi'(xi)(beta-alpha)label
$$
Преобразуем левую часть неравенства eqref:
$$
begin
varphi(beta)-varphi(alpha)=(r(beta)-r(alpha),r(beta))-(r(beta)-r(alpha),r(alpha))=\
=(r(beta)-r(alpha),r(beta)-r(alpha))=|r(beta)-r(alpha)|^2
endnonumber
$$
Тогда равенство eqref примет вид
$$
|r(beta)-r(alpha)|^=(r(beta)-r(alpha),r'(xi))(beta-alpha).label
$$
Если (r(beta)=r(alpha)), то неравенство eqref справедливо при любом (xiin in(alpha,beta)). Если (r(beta)neq r(alpha)), то (|r(beta)-r(alpha)| > 0). Тогда, используя неравенство (|(a,b)|leq|a|cdot|b|), из формулы eqref получим
$$
|r(beta)-r(alpha)|^leq|r(beta)-r(alpha)|cdot |r'(xi)|(beta-alpha),nonumber
$$
откуда, разделив обе части неравенства на (|r(beta)-r(alpha)| > 0), получим неравенство eqref. (bullet)

Для вектор-функции (r(t)) справедлива локальная формула Тейлора
$$
r(t)=sum_^frac<r^(t_)>(t-t_)^+varepsilon(t-t_),label
$$
где (varepsilon(t-t_0)=o((t-t_)^)) — вектор-функция такая, что (varepsilon(t-t_0)=(t-t_)^varepsilon_(t-t_)), где (varepsilon_(t-t_)rightarrow 0) при (trightarrow t_).Эта формула справедлива в предположении, что существует (r^(t_0)). Для доказательства формулы eqref достаточно воспользоваться локальной формулой Тейлора для компонент вектор-функции (r(t)).

Видео:9 класс, 15 урок, Определение числовой функции. Область определения, область значения функцииСкачать

Булевы функции и способы их задания

1.1. Найти вектор значений функции, заданной формулой над множеством , если функциональным символам f,g,h сопоставлены функции, заданные соответственно векторами (10), (1011) и (1000):

1.2. Построить таблицы функций, реализуемых формулами:

1.3. Эквивалентны ли формулы (см. [1], стр. 14):

1) A=((x V y) V z) → ((x V y) (x V z)), B=x

1.4. Выяснить, можно ли реализовать функцию f формулой глубины k над множеством M (см. [1], стр. 30):

1.5. Доказать, что если f реализуема формулой глубины k над множеством M, то она реализуема некоторой формулой над M, глубина которой больше k.

1.6. Методом эквивалентных преобразований проверить справедливость соотношений (см. [1], стр. 29)

1.7. Реализовать f формулой над M

1.8. С помощью эквивалентных преобразований (см. [1], стр. 29) привести к ДНФ формулу

1.9. Построить совершенную ДНФ

1.10. Построить полином Жегалкина методом неопределенных коэффициентов (см. [1], стр. 53)

1.11. Найти все существенные переменные функции

1) f=(x V y V z¬y V ¬x¬y¬z) w

1.12. Найти все коммутативные операции от двух переменных.

1.13. Указать все пары функций от двух переменных, которые дистрибутивны.

1.14. Указать все пары дистрибутивных функций от двух переменных без условия коммутативности.

📸 Видео

Функция. Множество значений функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Булевы функцииСкачать

Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.Скачать

Найти множество значений функции | Задача 1Скачать

Как найти область определения функции? #shortsСкачать

Как найти нули функции? #shortsСкачать

Функции. Урок №4. Область значений функции.Скачать

Булевы функции и способы их заданияСкачать

Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать